システム奮闘記：その105
(2016年5月22日に掲載)
電場と磁場の関係式
まずは単位体積辺りの磁場エネルギーの式を見る。
| 単位体積辺りの磁場エネルギー |
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| 真空中の単位体積辺りの磁場のエネルギーの式だ。 |
ここでも次元解析をして、物理量が単位体積辺りのエネルギーかどうか確かめてみる。
| 単位体積辺りの磁場エネルギーの式を次元解析 |
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| 物理量として単位体積辺りのエネルギーである事が確認できた。 |
次元解析の結果、物理量は正しい事がわかった。
ところで磁場のエネルギーの話。
目次にも書いているのだが
手抜きの説明
にしたのだ。
真空中を伝わる電磁波で考えてみる。
| 単位体積辺りの磁場エネルギーを求める |
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電場と磁場は交互になっている。 そこで振幅の関係式を代入すると、磁場のエネルギーになるという。 |
以上、おしまい。 本当の事を書くと、いくら調べても、上図のような説明だったり 天下り的に式だけ示されて、色々、触った結果、 いきなり磁場エネルギーという風に書いている資料ばかりだった。 大学の講義資料でも、こんな感じの内容なのだ。(実際にはあるかもしれないが、私が見つけれないだけかも) ましてや物理の専門家でない私なので これでいいのだ とバカボンのパパの決め台詞を書いて逃げようとした。
コイルから求める磁気エネルギー
だが、往生際悪く、調べていると、RL回路を使った磁気エネルギーの話の資料を発見。 電磁気学II 第四回 電磁誘導の法則（2）（お茶の水大学)
| 直流RL回路 |
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この回路の場合、電源を入れてから、しばらくは 自己インダクタンスの影響で、電流を流れるのを妨げる働きをする。 その間、コイルにエネルギーが溜まっているのだ。 コイルに溜まるエネルギーは磁気エネルギーなのだ。 上図の電流の式はラプラス変換を使って求めたのだ。 詳しくは「システム奮闘記:その98」(電気回路入門)をご覧ください。 |
さて、電源を入れて、コイルに磁気エネルギーが溜まっていく過渡期での 単位時間辺りの仕事量を求めてみる。
| 直流RL回路の単位時間辺りの仕事量 |
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単位時間辺りの仕事量はW(ワット)で、電圧×電流になる。 そこで両辺に電流をかけると、電源を入れてからt秒後の単位時間辺りの仕事量が求まる。 単位時間辺りにコイルに溜まる磁気エネルギーの増加の割合が見えてくる。 |
だが、磁気エネルギーの式に自己インダクタンス(L)があるので 別の形で表現したい。 まずは自己インダクタンスが何かを、復習を兼ねて書く事にした。
| 1巻きのコイルと自己インダクタンス |
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1巻きのコイルの場合の、電流と磁束の関係式にある係数(L)が 自己インダクタンスになる。 |
つぎに長さ「l」で、単位長さ辺りn巻きのコイルの自己インダクタンスを求めてみる。
| 長さ「l」で、単位長さ辺りn巻きのコイルの自己インダクタンス |
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| 磁束と電流の関係式を出してみた。 |
次にアンペールの法則に目を向ける。
| アンペールの法則に目を向ける |
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コイルの中の磁場(磁束密度)を足し合わせていく。 電流と磁束密度の関係式が出てくるのだ。 |
次にコイルの自己インダクタンスを求めてみる。
| コイルの自己インダクタンスを求めてみる |
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| コイルの自己インダクタンスが求まった。 |
これで準備ができた。 あとはコイル内にたまっている磁場エネルギーを求めるのだ。
| コイル内にたまっている磁場エネルギーを求める |
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コイル内に溜まった磁場エネルギーが求まった。 それに伴い、単位体積辺りの磁場エネルギーも求まったのだ。 |
無事、単位体積辺りの磁場エネルギーが求まったのだ。 まさにバカボンのパパの台詞 これでいいのだ
磁場の応力
マックスウェルの応力は、電気力線を弾性体(ゴム)と考える話だった。 磁場でも同じような考え方ができるという。 身近な所(?)に存在していた。 バカボンのパパの台詞を言ったばかりなので、今度は主題歌を歌うと 西から昇ったお日様は、東に沈む♪ お日様、太陽で磁場の応力が働いているのだ。 国立天文台のサイトを見た。 国立天文台 太陽観測所 こんな説明が書いていた。
| 国立天文台のサイトにある文章(一部抜粋:引用) |
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黒点は周りよりも温度が低いために黒く見えています。 温度が低いのは、黒点で磁場が強いために、太陽中心部の熱が伝わりにくいことが原因です。 そして、この磁場が、「フレア」と呼ばれる太陽大気中で起こる爆発の原因と考えられています。 フレアの発生メカニズムを理解するため、「ひので」は太陽表面の磁場や 時間変動を精密に測定しています。 |
原理も国立天文台のサイトに書いていた。 国立天文台 太陽活動のエネルギー源 -- 磁場
| 磁場の圧力で黒点ができる |
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磁力線に圧力があるため、磁力線が密集している所には熱が伝わりにくく その部分だけが温度が低いため、黒く見えるのだ。 |
電磁流体力学とかプラズマ物理を勉強したい人には必要な知識だ。
電磁気学入門の目次
| 電磁気学入門:目次 | |
|---|---|
| スカラーとベクトル | 簡単なスカラーとベクトルの話です。 ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。 |
| 静電気の発見からクーロンの法則 | 今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷など どういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。 |
| クーロン力、電場、近接作用 | 4つの力のうち、クーロン力の位置づけ 電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。 |
| 微分、全微分、方向微分 | 簡単な微分、全微分、方向微分の話です。 ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味が わからなくなります。 |
| ベクトル解析 |
電磁気に必要なベクトル解析の話です。 勾配(grad)、2次元のグリーン定理 ストークスの定理の話です。 |
| 電位ポテンシャル | 電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。 |
| 電気双極子 |
電気双極子の話です。 物質中で起こる分極を理解するのに必要です。 |
| ガウスの法則 | ガウスの法則の積分形、微分形の話です。 |
| ポアソンの方程式、ラプラス方程式 |
ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。 単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない 奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数 グリーン関数、固有値問題について触れています。 |
| 静電場と渦なしの法則 |
静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ 微分形と微分形の渦なしの法則の話です。 |
| ビオサバールの法則 |
電気と磁場の関係の発見の話から ビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。 |
| 磁気双極子 |
磁気双極子の話で、回転電流になります。 物質中の磁場の話にも関連します。 |
| アンペールの法則 |
アンペールの法則の話です。 積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る 磁気双極子の話なども書いています。 |
| ローレンツ力 |
磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。 ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。 |
| ファラデーの誘導起電力の法則 | ファラデーの誘導起電力の話です。 |
| うず電流を使った簡単な物理実験 | 電力計に使われるアラゴの円盤。 そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流は レンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。 アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。 気分転換で読んでください。 |
| ベクトルポテンシャル |
わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。 電位は電荷が作る電気のポテンシャルだが ベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。 |
| オームの法則の微分形 | 微小領域でのオームの法則の話です。 |
| マックスウェルの方程式 |
4つのマックスウェルの方程式を書いています。 電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。 |
| ゲージ変換 |
ゲージ(gauge)は物差しの意味です。 マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に 書き換える際、ゲージ変換が使われます。 ゲージ変換の役目を書きました。 |
| 電磁波 |
マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を 視覚的に見てみる話です。 |
| 回転のrotはベクトルの微分 |
ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotは ベクトルの微分という話です。 |
| 電磁気学の単位系 | 電磁気学の単位系の話です。 物理量の単位系の指数を見る次元解析 電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。 |
| 電気泥棒:電気と法律の話 |
電気は物体なのか、無形物なのか。 明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで 窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。 ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。 |
| 数ベクトルと基底ベクトル | ベクトルの話です。 矢印だけがベクトルでない事。 数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。 多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です |
| 多様体 | 空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります |
| 外積代数 |
外積、テンソルについて書いています。 極性ベクトル、軸性ベクトル 外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。 |
| ベクトルの双対関係 |
反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係 ベクトル解析、外積代数の話 外積、テンソルについて書いています。 |
| ローレンツ力と相対性理論 |
磁場は電場の相対論的効果だった話です。 ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。 |
| 微分形式 |
多様体の話の続きです。 座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。 ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が 鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。 |
| 物理と対称性 |
マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。 物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると 意外なつながりがあるという話です。 |
| マックスウェルの応力 |
電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを 説明した考え方です。 |
| 電場エネルギー | 電場が持つエネルギーの式を導いた話です。 |
| 磁場エネルギー |
磁場が持つエネルギーの式です。 手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。 |
| ポインティングベクトル |
電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。 電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話から ポインティングベクトルを導いています。 |
| 電気エネルギーは導線の外を伝わる |
導線の外を電気エネルギーが流れる話です。 私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら 「目からウロコ」にたどり着いた話です。 |
| 物質中の電場 | 物質中の電場の話です。 分極の話をしながら、物質中の電場の話をします |
| 物質中の磁場 | 磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします |
| 物質中のマックスウェルの方程式 | 物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。 |
| 導体に侵入する電磁波 |
導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。 表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます |
| 表皮効果 |
目的の表皮効果の話です。 マックスウェルの方程式を解きながら 交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。 |