システム奮闘記:その105

磁場エネルギー



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(2016年5月22日に掲載)

電場と磁場の関係式

 まずは単位体積辺りの磁場エネルギーの式を見る。
単位体積辺りの磁場エネルギー
単位体積辺りの磁場エネルギー
真空中の単位体積辺りの磁場のエネルギーの式だ。

 ここでも次元解析をして、物理量が単位体積辺りのエネルギーかどうか確かめてみる。

単位体積辺りの磁場エネルギーの式を次元解析
単位体積辺りの磁場エネルギーを次元解析
物理量として単位体積辺りのエネルギーである事が確認できた。

 次元解析の結果、物理量は正しい事がわかった。


 ところで磁場のエネルギーの話。
 目次にも書いているのだが

 手抜きの説明

 にしたのだ。


 真空中を伝わる電磁波で考えてみる。

単位体積辺りの磁場エネルギーを求める
単位体積辺りの磁場エネルギーを求める
電場と磁場は交互になっている。
そこで振幅の関係式を代入すると、磁場のエネルギーになるという。

 以上、おしまい。

 本当の事を書くと、いくら調べても、上図のような説明だったり
天下り的に式だけ示されて、色々、触った結果、
いきなり磁場エネルギーという風に書いている資料ばかりだった。

 大学の講義資料でも、こんな感じの内容なのだ。(実際にはあるかもしれないが、私が見つけれないだけかも)
 ましてや物理の専門家でない私なので

 これでいいのだ

 とバカボンのパパの決め台詞を書いて逃げようとした。


コイルから求める磁気エネルギー

 だが、往生際悪く、調べていると、RL回路を使った磁気エネルギーの話の資料を発見。  電磁気学II 第四回 電磁誘導の法則(2)(お茶の水大学)
直流RL回路
直流RL回路
この回路の場合、電源を入れてから、しばらくは
自己インダクタンスの影響で、電流を流れるのを妨げる働きをする。
その間、コイルにエネルギーが溜まっているのだ。
コイルに溜まるエネルギーは磁気エネルギーなのだ。

上図の電流の式はラプラス変換を使って求めたのだ。
詳しくは「システム奮闘記:その98」(電気回路入門)をご覧ください。

 さて、電源を入れて、コイルに磁気エネルギーが溜まっていく過渡期での
単位時間辺りの仕事量を求めてみる。

直流RL回路の単位時間辺りの仕事量
直流RL回路の単位時間辺りの仕事量
単位時間辺りの仕事量はW(ワット)で、電圧×電流になる。
そこで両辺に電流をかけると、電源を入れてからt秒後の単位時間辺りの仕事量が求まる。
単位時間辺りにコイルに溜まる磁気エネルギーの増加の割合が見えてくる。

 だが、磁気エネルギーの式に自己インダクタンス(L)があるので
別の形で表現したい。

 まずは自己インダクタンスが何かを、復習を兼ねて書く事にした。

1巻きのコイルと自己インダクタンス
1巻きのコイルと自己インダクタンス
1巻きのコイルの場合の、電流と磁束の関係式にある係数(L)が
自己インダクタンスになる。

 つぎに長さ「l」で、単位長さ辺りn巻きのコイルの自己インダクタンスを求めてみる。

長さ「l」で、単位長さ辺りn巻きのコイルの自己インダクタンス
長さ「l」で、単位長さ辺りn巻きのコイルの自己インダクタンス
磁束と電流の関係式を出してみた。

 次にアンペールの法則に目を向ける。

アンペールの法則に目を向ける
アンペールの法則に目を向ける
コイルの中の磁場(磁束密度)を足し合わせていく。
電流と磁束密度の関係式が出てくるのだ。

 次にコイルの自己インダクタンスを求めてみる。

コイルの自己インダクタンスを求めてみる
コイルの自己インダクタンスを求めてみる
コイルの自己インダクタンスが求まった。

 これで準備ができた。
 あとはコイル内にたまっている磁場エネルギーを求めるのだ。

コイル内にたまっている磁場エネルギーを求める
コイル内にたまっている磁場エネルギーを求める
コイル内に溜まった磁場エネルギーが求まった。
それに伴い、単位体積辺りの磁場エネルギーも求まったのだ。

 無事、単位体積辺りの磁場エネルギーが求まったのだ。

 まさにバカボンのパパの台詞

 これでいいのだ


磁場の応力

 マックスウェルの応力は、電気力線を弾性体(ゴム)と考える話だった。  磁場でも同じような考え方ができるという。  身近な所(?)に存在していた。  バカボンのパパの台詞を言ったばかりなので、今度は主題歌を歌うと  西から昇ったお日様は、東に沈む♪  お日様、太陽で磁場の応力が働いているのだ。  国立天文台のサイトを見た。  国立天文台 太陽観測所  こんな説明が書いていた。
国立天文台のサイトにある文章(一部抜粋:引用)
黒点は周りよりも温度が低いために黒く見えています。
温度が低いのは、黒点で磁場が強いために、太陽中心部の熱が伝わりにくいことが原因です。
そして、この磁場が、「フレア」と呼ばれる太陽大気中で起こる爆発の原因と考えられています。
フレアの発生メカニズムを理解するため、「ひので」は太陽表面の磁場や
時間変動を精密に測定しています。

 原理も国立天文台のサイトに書いていた。

 国立天文台 太陽活動のエネルギー源 -- 磁場

磁場の圧力で黒点ができる
磁場の圧力で黒点ができる
磁力線に圧力があるため、磁力線が密集している所には熱が伝わりにくく
その部分だけが温度が低いため、黒く見えるのだ。

 電磁流体力学とかプラズマ物理を勉強したい人には必要な知識だ。


電磁気学入門の目次
電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル 簡単なスカラーとベクトルの話です。
ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則 今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷など
どういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用 4つの力のうち、クーロン力の位置づけ
電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分 簡単な微分、全微分、方向微分の話です。
ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味が
わからなくなります。
ベクトル解析 電磁気に必要なベクトル解析の話です。
勾配(grad)、2次元のグリーン定理
ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル 電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子 電気双極子の話です。
物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則 ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式 ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。
単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない
奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数
グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則 静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ
微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則 電気と磁場の関係の発見の話から
ビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子 磁気双極子の話で、回転電流になります。
物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則 アンペールの法則の話です。
積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る
磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力 磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。
ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則 ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験 電力計に使われるアラゴの円盤。
そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流は
レンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。

アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。
気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。
電位は電荷が作る電気のポテンシャルだが
ベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形 微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式 4つのマックスウェルの方程式を書いています。
電場と磁場の変化を図にする事で
rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換 ゲージ(gauge)は物差しの意味です。
マックスウェルの方程式をE(電場)とB(磁場)の関係式から
φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に
書き換える際、ゲージ変換が使われます。
ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波 マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を
視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分 ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotは
ベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系 電磁気学の単位系の話です。
物理量の単位系の指数を見る次元解析
電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話 電気は物体なのか、無形物なのか。
明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで
窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。
ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル ベクトルの話です。
矢印だけがベクトルでない事。
数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。
多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体 空間を一般化した話です。
▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数 外積、テンソルについて書いています。
極性ベクトル、軸性ベクトル
外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係 反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係
ベクトル解析、外積代数の話
外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論 磁場は電場の相対論的効果だった話です。
ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式 多様体の話の続きです。
座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。
ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が
鮮やかな形で表現できます。
∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性 マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。
物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると
意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力 電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを
説明した考え方です。
電場エネルギー 電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー 磁場が持つエネルギーの式です。
手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル 電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。
電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話から
ポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる 導線の外を電気エネルギーが流れる話です。
私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら
「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場 物質中の電場の話です。
分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場 磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式 物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波 導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。
表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果 目的の表皮効果の話です。

マックスウェルの方程式を解きながら
交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。


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