システム奮闘記：その105

電位ポテンシャル

(2016年5月22日に掲載)

静電場と荷電粒子の仕事量

　いきなり、電位ポテンシャルと言われても、何の事かわからない。
　静電場上での荷電粒子がする仕事量(もしくは、される仕事量)の話から
電位ポテンシャルの話をすると見通しが良くなる。


　まず「ポテンシャル」の言葉の意味を見てみる。
　カタカナだと意味不明だが、英語だと「potential」になる。

　日本語訳すると

　可能性(潜在能力)

　なのだ。

　先に答えを書くが・・

　貯蓄可能なエネルギーの指標

　となのだ。

　力学でのポテンシャルはわかった。
　だが、それを電磁気に当てはめて、「高さに相当する」といってもピンとこない。


　だが、次にように書けば、物事は考えやすくなる。

　電場はベクトルであり

　空間内に高い値を示す領域があるから

　勾配にあたるベクトルがある

　言葉だけだと、わかりにくいので、図にしてみた。

電位ポテンシャルは何なのか、電場から推測してみる
電場はベクトルなのだ。 全微分や勾配の話で出てきたが、関数の勾配はベクトルだ。 もし、φ(x,y,z)の関数と、関数の勾配の式に当てはまると φ(x,y,z)は電場の源になる関数になる。 先に答えを書くが、この時のφ(x,y,z)は電位ポテンシャルというのだ。 このことから考えると、電位ポテンシャルは「高さ」に相当するものなのだ (注意) ポテンシャルは「高さ」と言い切ると、語弊が出てくる。 ポテンシャルは潜在力を表わすだけに、間違いではないが 他にも要素があるので、「高さ」と言い切るわけにはいかないのだ。

　数学的に考えたのだが、ここで知らねばならないのは物理的な意味であり
どんな物理量なのかだ。


　そこで物理に電位ポテンシャルが何なのかを見ていくのだが
回り道が必要になる。

　荷電粒子が作る電場、荷電粒子が持つエネルギーの話などをした上で
電位ポテンシャルの話をするのだ。


　まずは荷電粒子が作る電場の話から。

荷電粒子が作る電場
電場とは、電荷によって空間に生じた変化の事だ。 電場の強さは、電荷量に比例し、かつ、距離の2乗に反比例する。

　電場は、他の電荷に対して力の作用を及ぼす。

　距離rの地点で、他の電荷(q2)があったとする。
　その場合、どれくらいの力の作用が働くのか見てみる。

電場は、他の電荷に対して力の作用を及ぼす
q1とq2が同じ正電荷(もしくは負の電荷)の場合 q1の電荷から発生した電場は、q2の電荷に作用して q2を押す力(斥力)を生んでいる。

　q2をq1の方向に近づけるとどうなるのか?
　その場合の仕事量は、どうなるのか考えてみる。

　回りくどい説明だが、これも電位を説明するための準備なのだ。

q2をq1の方向に近づけるとどうなるのか?
q2をq1に近づけた時、f(r)の力でq2が押されているため 同じf(r)の力で引っ張りあげる必要がある。 ここで疑問になるのは、仕事量がマイナスの符号が付く事だ。 力と距離の積が仕事量なので、f(r)×Δr(微小距離)が仕事量のはず。 必要な仕事量がマイナスとなれば、違和感があるのだ。 (注意) スカラーとベクトルの所で書きましたが 力はベクトル量で大きさだけでなく向きが重要になってくる。 向きはどっちかで、正・負が決まるため、注意が必要だ。

　なぜ、マイナスの符号が付くのか。
　ここで力の方向と向きの考え方が重要になってくる。

　スカラーではなく、ベクトルで表現してみる。
　荷電粒子の中心とした極座標系で考えると
荷電粒子から遠ざかる向きを正の方向になる。

なぜ仕事量の式に、マイナスの符号が付くのか
力のf(r)は、外に向かっている力だ。 その力に対抗してq1の方に動かすため、力の向きが反対になるため スカラー表現だと、力の符号がマイナスというわけだ。 移動のΔrもスカラーの時は符号が見えない。 ベクトルにすると符号が見える。 外に向う方向だとΔrは正の値で、内側の場合、マイナスをつけるのだ。 単なる向きの問題で、プラスかマイナスかの符号がつくだけなのだ。 わからなくなった時は、ベクトル表記にすれば、見通しが良くなるのだ。

　だが、実際の計算で、ベクトルとなれば、めんどくさい。
　スカラー表記のまま計算したい。


　そこで、なぜマイナスになるのか、もう1つの見方があるのだ。

　電荷q2の立場になって見た場合なのだ。
　q2は電場から仕事量をもらうか、奪われるかの違いで見てみるのだ。

仕事量の式にマイナスの符号が付く理由
q1方向からf(r)の力でq2を押している。 q2は押されると、外側に向かって加速して走ったりする。 q2は仕事をもらっているのだ。 反対にq1に向かっているq2の場合、どんなに勢い良くq1方向に向かっても f(r)の力で押されて、どんどん減速してしまう。 q2は自分のエネルギーを失っている。つまり仕事量が奪われている事だ。 もらった仕事量はプラス。奪われた仕事量はマイナスと考えれば 合点がいくのだ。

　ここで出てきた

　奪われた仕事量

　が重要な事なのだ。
　そして・・・

　奪われた仕事量は、どこへいくねん?

　なのだ。


　奪われた仕事量は、貯蓄に回るのだ。その貯蓄が何かのかを見ていく。

　まずは点Oから点Pへ移動した時に、q2が奪われた仕事量を求める

点Oから点Pへ移動した時に、q2が奪われた仕事量
q2が奪われた仕事量が求まった。

　そこで点Oが遥か彼方の無限に遠い場所と考える。

　q1が作る出す電場や、q1によって押される力がゼロの地点といえば
無限に遠い場所なのだ。

　無限に遠い場所を基準として、どれだけの仕事量をq2から奪うのか
計算してみるのだ。

無限に遠い場所からq2を引っ張った時に奪われる仕事量
q2が奪われる仕事とは、q2が無限に遠い場所から、q1からrまで移動する時 必要な仕事量を表す。 q2が奪われた仕事量は、静電エネルギーという形で貯蓄に回る。 力学の時と同様に、エネルギーの保存則が成り立つのだ。

　仕事量が奪われる一方で、静電エネルギーがあがっていく

　力学で出てきた運動エネルギーと位置エネルギーの関係と同じなのだ。


電位ポテンシャル

　回りくどく静電エネルギーやエネルギー保存則の話をした。
　これで準備ができた。

　電場の中を電荷を引っ張った際、力学と同様に、荷物を引き上げるのと
同じことをしている。

静電エネルギーとは電荷q2のエネルギーの貯蓄の事
力学の場合、物を引き上げた場合の位置エネルギーは m g hになる。 この時、位置エネルギーの量を決めるのは、持ち上げる物体の質量(m)だけでなく 持ち上げる高さ(h)と、重力加速度(g)になる。 貯蓄可能なエネルギー量の知るための指標に該当するのが「g h」で 物を高く上げる事で、位置エネルギーは増加するし 物を上げる高さは同じでも、重力加速度が大きい木星や土星に行けば 位置エネルギーは大きくなるのだ。これがポテンシャルに相当する。 q1が作る静電場の場合に、外部から荷電粒子を持ってきた場合 荷電粒子が貯蓄可能なエネルギー量の指標が求められる。 それが電荷q1が作る電位ポテンシャルというものになるのだ。

　わかったような、わからんような感じなのだが、電位ポテンシャルは
電磁気の話で重要なので、知らないと、この先に進めないのだ。

　電磁気に限らず、乾電池が1.5Vとか、コンセントの電圧が100Vというのも
電位ポテンシャルなのだ。



　次に電位ポテンシャルと電場の関係式を見てみる。
　話の最初の所で、電場の源になる関数を電位ポテンシャルと書いたのだが
まさに以下の関係式が成り立つのだ。

電位ポテンシャルの勾配は電場
電位ポテンシャルの勾配は電場と言いたいのだが、勾配は高い方向なので、逆になる。 だが、最初に電場は、正の電荷から外に向かって流れるとしている。 そのため電場と勾配の向きが正反対になってしまうため 勾配にマイナスをつけて、電場を表しているのだ。

　ところで電位ポテンシャルの事を

　スカラーポテンシャル

　と言う。

　その理由は電位は数値で表しているからだ。
　位置エネルギーも同じスカラーポテンシャルになる。

電位、電場の足し合わせ

　ところで荷電粒子は1つだけとは限らない。
　近くに複数ある場合だって考えられる。

　その場合の電場と電位だが

　単純に足し合わせれば良い

　のだ。

複数の荷電粒子がある場合の電場の重ね合わせ
各荷電粒子が作る電場を足し合わせた物が、その位置での電場になる。 電場の場合、ベクトルなので方向を持っている。 なので実際に足し合わせる際は、方向を考慮して計算する必要がある。

　そして電位も足し合わせれば良いのだ。

複数の荷電粒子がある場合の電位の重ね合わせ
各荷電粒子が作る電位を足し合わせた物が、その位置での電位になる。 スカラーなので、単純に足し合わせるだけで良いのだ。

　ところで、複数の電荷が作る電場を求める際、電場の足し合わせを求めるよりも
電位の足し合わせを求めた後、微分して電場を求めた方が計算が楽なのだ。

　電位の場合はスカラーポテンシャルで方向を持っていない。
　だが、電場は方向があるため、方向を考慮した上で
足し合わせを行う必要があるからだ。

　それを頭に入れておけば、何らかの実験などで電場を求める際、
計算が楽になったりするのだ。


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