システム奮闘記：その105

マックスウェルの応力

(2016年5月22日に掲載)

単位体積辺りの電場エネルギー

　単位体積辺りの電場エネルギーの式は以下のように表わされる。

真空中の単位体積辺りの電場エネルギーの式

どういう風に導かれるのか、わからない。


　そのため・・・

　なんでこんな式になるねん!!

　なのだ。

　色々、調べていくと

　マックスウェルの応力

　にたどり着いたのだ。
　要するに、今まで知らなかったのだ。


　単位体積辺りの電場エネルギーの式を理解するためには
マックスウェルの応力の知識が必要になってくる。

電気力線を弾性体と考える

　そして資料を探すと、わかりやすいのを発見した。
　Maxwell の応力と静電エネルギー(東工大)
　電磁場の応力(マクスウェルの応力)


　マックスウェルの応力とは電気力線を

　ゴムと考える話

　なのだ。


　その準備のため、クーロンの定理を知る必要がある。

クーロンの定理

電気を帯びた導体での、表面の電荷密度と表面から出る電場の関係式


　ここで思った。

　なんで表面の電荷密度やねん!!

　電荷を帯びた導体なのだが、導体全体に電荷を帯びているはず。
　なので、表面の所の電荷密度を考えるのは、おかしな感じがする。

　だが、調べていくと・・・

　電荷を帯びた導体の場合、電荷は表面に集まる

　なのだ。

電荷を帯びた導体の場合、電荷は表面に集まる

電荷は表面だけに集まり、中は電荷を帯びないのだ。


　どうも理解しがたいのだが、調べてみるうちに、直観的な説明を思いついた。

電荷を帯びた導体の場合、電荷は表面に集まる理由(直観的な見方)

導体中に電荷があっても、電荷同士は反発しあう。そのため反発しあう事で、どんどん電荷は表面方向に向かい最後には表面のみに電荷が分布するようになる。


　理論的な面(?)で考える。
　導体の中は電場はゼロなのだ。
　この時、静電遮蔽と同じ現象なのだ。

導体の中は電場はゼロなので静電遮蔽と同じ現象になる

電荷を帯びた容器の中は、電場がゼロというのが静電遮蔽だ。導体内部で電荷の分布がない場合、同じ事が起こっていると言えるのだ。


　ところで導体の表面に電荷が分布しているのだが
表面に分布している電荷が受ける力が働く。

　その力を

　静電張力

　というのだ。
　知らなかった。

静電張力

導体の表面では、外向きの力が働く。単位面積辺りにかかる力を「静電張力」というのだ。


　なんだか

　単位体積辺りの電場エネルギー

　になっている。

　静電張力で単位電荷を

　だが、なぜ、このような式になるのかがわからない。
　そこで導くことにした。


　表面部分にある電荷(自分自身)が作り出す電場を求める。

表面部分にある電荷(自分自身)が作り出す電場

表面部分にある電荷(自分自身)が作り出す電場だ。値はクーロンの定理そのままだ。


　次に自分自身でない領域が作る電場を求める。

自分自身でない領域が作る電場を求める

周辺の全領域が作り出す電場を求めるのだ。


　複雑な計算は要らない。案外、単純に求まる。

導体の表面の電場

自分自身が作り出し電場と、それ以外の領域で作る電場の合計になる。あっさり求まったのだ。


　自分自身にかかる力(静電張力)は、他の領域が作る電場によって働く力なのだ。

自分自身にかかる力(静電張力)は、他の領域が作る電場によって働く力

これで静電張力の式が導けたのだ。


　これでマックスウェルの応力が何かを知るための準備ができた。


　まずは電荷が作り出す電気力線を配管(電気力管)として考える。

電荷が作り出す電気力線を配管(電気力管)として考える

電気力管の事をファラデー管とも言う。


　次に・・・

　電気力管を弾性体(ゴム)として考える

　のだ。

電気力管を弾性体(ゴム)として考える

電気力線はファラデーが考え出した物だ。ファラデーは電気力線を弾性体(ゴム)と考える事で電磁気学での現象を説明しようとしたようだ。


　ゴムなので伸びると、縮む方向に力が働く。

マックスウェルの張力

ファラデーは電場は近接作用と考えた。
電場が伝わっていく様子を、ゴムが伸びていく状態と考えたのだ。
ゴムが伸びると、ゴム内部では縮む方向に力が働く。
その縮む力をマックスウェルの張力というのだ。

電気力管の断面で、電荷のある場所では静電張力が働く。
作用・反作用なので、マックスウェルの張力は、静電張力と同じになる。

弾性体(ゴム)を通じて静電張力が伝わるように考えているのだ。


　電気力線を弾性体(ゴム)と考えるため、ゴムを伸ばす場合、
垂直方向に圧力がかかる。

　これをマックスウェルの圧力という。

マックスウェルの圧力

弾性体が伸ばす際、垂直方向に力が働く。この力をマックスウェルの圧力という。


　そして、マックスウェルの張力と圧力の事を

　マックスウェルの応力

　というのだ。


クーロン力を求める

　ファラデーが考え出した、電気力線をゴムとみなす手法。
　これがクーロン力に当てはまるかどうか見ていく事にする。

2点間で働く力を考える

X軸上に正の電荷と負の電荷を置く。この2つの電荷にはクーロン力が働く。


　そこで、電気力線が弾性体(ゴム)として考える事ができるなら
マックスウエルの張力の合計とクーロン力が一致するはずだ。

マックスウエルの張力の合計と、クーロン力が一致するかどうか確かめる

2つの電荷と等距離の場所で考えると全てのマックスウェルの張力が同じ向きになる。計算が楽なので等距離の場所で考える。


　3次元座標だと以下のようになる。

2つの電荷の間に働くマックスウェルの応力を求める


　まずは2つの電荷が作り出すYZ平面(x=0)の電場を求める。

　その際、静電ポテンシャルを求めてから電場を求める。
　いきなり電場から求めると、計算が面倒なので、そんな事はしない。

2つの電荷が作り出すYZ平面(x=0)の電場を求める

静電ポテンシャルから求めるのは、方向を考えなくて済むからだ。そしてYZ平面(x=0)は、2つの電荷の等距離にあるので電場はX方向のみになる。そのためX軸方向の電場だけ求めれば良くなる。


　電場が求まった所で、マックスウェルの張力を求め
そこから張力の合計が、クーロン力と一致するか確かめる。

マックスウェルの張力の合計を求める

マックスウェルの張力の合計と、クーロン力が一致した。ファラデーが考え出した物は、十分に使えるのだ。改めて、ファラデーのおそるべし直観力だ。まさに天才実験物理学者なのだ。


　ところで・・・

　マックスウェルの応力を知って何の役に立つねん?

　と思った。
　そこで調べてみると、立派に活躍している。

　圧電素子の原理といった物性物理の分野だ。それを応用した人工筋肉の研究もある。
　進化する人工筋肉 ― ロボット、人工臓器、医療まで(信州大学:PDF)
　高強度レーザーを用いた磁場圧縮実験とその測定法の確立(電気通信大学:PDF)


　私が電磁気の知識がなかった事を、再度、証明された形になったのだ。
　でも、気にしない。電磁気を習ったのは20年も前の話だ。過去の事は気にしない。



電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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