システム奮闘記：その105

ビオサバールの法則と磁石の歴史

(2016年5月22日に掲載)

ビオサバールの法則の式

　電場の話が一段落した所で、次は磁場の話に入っていく。

　
　電流と、それが作り出す磁場との関係式がある。
　それが・・・

　ビオサバールの法則

　なのだ。

ビオサバールの法則
電流と、電流が作る磁気の関係式がビオサバールの法則だ。 1820年、ラプラスが、上に近い式を予言し、ビオサバールが実験的に証明したのだ。

磁場と磁束密度

　ところで磁場と電流の関係式がビオサバールの法則なのだが
上の式では電流と磁束密度の式になっている。

　磁場と磁束密度の違いは何やねん!!　

　なのだ。


　まず磁場が何かを見てみる。

磁場とは磁力の強さ
磁場とは磁力の強さを表わす。 Hの記号を使うのだ。

　次に磁束とは何かを見てみる。

磁束とは磁力線の本数
磁束とは磁力線の本数だ Φ(ファイ)の記号を使うのだ。

　次の磁束密度は何かを見てみる。

磁束密度とは単位面積辺りの磁力線の本数
磁束密度とは単位面積辺りの磁力線の本数だ Bという記号を使うのだ。

　磁場が磁力の強さ。磁束密度が単位面積辺りの磁力線の本数だとわかった。
　この2つの関係を結ぶ式がある。

磁場と磁束密度の関係式
磁場(磁力の強さ)と、磁束密度(単位面積辺りの磁力線の本数)の関係式だ。 透磁率は物質によって異なる。 磁場に、透磁率の係数をかけると、磁束密度が求まる。

　磁場と磁束密度の関係式。
　この式は以下のような場合に使える。　

磁場と磁束密度の関係式の使い方
真空中の磁場が、物質内に入っても磁束密度(単位面積辺りの磁場の本数)は変わらない。 透磁率と磁束密度がわかれば、真空中や物質中の磁場の強さがわかるのだ。

　同じ磁束密度にしても

　磁束密度が通る物質が異なれば

　磁場の強さは異なる

　これを頭に入れておくと、あとで出てくる物質中の磁場を考える上で便利になるのだ。


磁石の歴史と電磁気学の発展

　このまま話を進めてアンペールの法則に行こうとした。
　だが、幸か不幸か、次のサイトを見つけてしまった。

　ビオ・サバールの法則（1820年）を見つけた方法

　よく考えれば

　何でこんな式が導けたのか

　考えた事、あらへんかった!!

　大抵の電磁気の教科書は、ビオサバールの法則を紹介するぐらいで
なぜ、この式が導けて、実験的に証明できたのかが書かれていない。
　そこで調べていくことにした。


　磁石の歴史を調べていくと以下のサイトが見つかる。

　永久磁石の歴史と磁気科学の発展年表(ネオマグ株式会社)
　大いなる磁石、地球(京都大学大学院理学研究科附属地磁気世界資料解析センター)
　磁石の歴史〜永久磁石の発見と未来〜(株式会社マグファイン)

　ギリシャ人が磁鉄鉱を発見し、鉄にひっつく事を発見したのだ。
　ところで磁石の事を英語でマグネット(magnet)という。その言葉は・・・

　ギリシャの「マグネシア」地方

　が由来なのだ。

　そんな事、今まで知らなかった。


　そして古代・中国では羅針盤(方位磁石)を発明されたのだ。
　これは誰でも知っている話なので、軽く流す。


　日本でも磁鉄鉱は発見され

　続日本紀に記述されている

　というのだ。
　そんな事、知らなかった。

　『続日本紀』国史大系版　巻第六(日本文学電子図書館)

　そして日本にも平安時代には羅針盤が入ってきているというのだ。


　だが、当時は誰も、地球が磁石とは夢にも思わなかった。


　それから時代が流れ1600年頃に、電気の歴史でも触れた
イギリスの医者で物理学者だったウィリアム・ギルバートが

　地球は磁石だ!

　を唱えたのだ。

　それが「磁石論」(1600年出版)という本にもなっている。

ギルバートが発見した事
その1	磁石は吸引力と反発力を持っている
その2	地球は巨大な磁石
その3	磁石を細かく切ってもNとSになる

　そしてギルバートは

　磁化された鉄は熱すると、磁力を失う

　を発表した。
　ただし、間違えた事も発表している。

　電気と磁気は別物

　と言ったのだ。
　長らくそれが信じられてきたのだ。

　電気と磁気は別物という考えが200年の間、定着していたのだが
エルステッドが1820年7月に以下の事を発見してしまう。

導線の下に方位磁石を置く実験
講義中に、実験器具をいじっていたエルステッド。 電線のスイッチを入れたり、切ったりしていた。 たまたま、近くに方位磁石が置いていた。

　導線に電気が流れると、方位磁石が動いたのだ。

導線に電気が流れると、方位磁石が動いた
導線に電気が流れると、側にあった方位磁石が動いた。

　そのため・・・

　電流によって磁気が発生する

　と発表したのだ。


　その発表がすぐに広まって、電流と磁気の関係を確かめるべく
色々な実験が行なわれた。


　ビオサバールの実験内容を見る。
　そのために、実験方法を理解するための準備を行なう。


　電流と発生する磁気の向きだが、磁石を使う。

電流と発生する磁気の向き
上図のように磁石を使うと、電流によって発生した磁気の様子がわかる。 電流の方向を上にして、反時計周りで磁気が発生しているのだ。

　そして磁石を揺らしながら、導線に近づけたり、遠ざけたりして
揺れの周期を求める。

磁石の揺れの周期を求める
導線からの距離と揺れの周期を調べる事によって 磁気の強さがわかるというのだ。

　揺れている磁石を真上から見た様子だ。

揺れている磁石を真上から見た様子
磁石の傾きを戻そうとする力が働いているのだ。

　ところで磁石には磁力線というものがある。

磁石には磁力線というものがある
電気力線と同じ考え方だ。磁石にも磁力線があるのだ。 子供の頃、理科の実験で、紙の上に砂鉄をまいて 紙の下に磁石を置くと、磁力線が描き出される事をやった。 ファラデーは、別の方法で磁力線の概念を編み出したのだ。 1837年頃と言われている。

　ところでビオサバールの法則は1820年なので、磁力線の概念はなかった。

　だが、既にクーロンの法則が1785年に発見されている。
　電気には電荷という物があり、それによって相互作用が働いた。

　磁石にも、電気と同様、電荷と同じような物があると考えられた。
　磁荷というものだ

磁荷の存在を仮定する
実際の所、磁荷は存在しないと言われる。 当時、何もわかっていないので、電気と同じだと類推して 磁荷の存在を仮定したのだ。 (注意) 磁荷が存在しないというのは、過去に話になるかもしれない。 日本で磁荷の存在を示唆する研究結果が出ているからだ。 磁気モノポールの量子ダイナミクスの発見(東京大学) N極・S極だけをもつ磁石・磁気モノポールの発見(首都大学東京:PDF)

　先人は磁荷を勝手に仮定したのだが、科学研究の場合

　類似現象から類推した仮説を矛盾が出るまで使う

　というのが行なわれている。
　この考え方が、科学には必要だったりする。


　そしてクーロンの法則から類推した磁気版のクーロンの法則も考え出される。

磁気版のクーロンの法則
当時、比例定数の中身の4πやμoはわかっていなかったのだが ここでは比例定数として書いたのだ。 わかりやすいよう、磁荷の添え字には「m」をつけている。

　そして磁荷と磁場の関係式も、クーロンの法則から類推した物を使う。

磁荷と磁場の関係式(クーロンの法則から類推した物)
磁荷と磁場の関係式を類推した物だ。

　電荷、電場、クーロンの法則から、磁荷と磁場を類推した。
　そして、棒磁石を磁気双極子とみなすことができる。

棒磁石を磁気双極子とみなすことができる
長さlで、磁荷qmの磁気双極子だ。

　棒磁石(磁気双極子)に磁場を当てると、以下のようになる。

棒磁石(磁気双極子)に磁場を当てる
磁場に対して角度「θ」だけ斜めを向いているとする。 磁荷と磁場の関係式(クーロン力の類推)から、両側に力がかかり 棒磁石と磁場の向きが並行なるように働く。

　力のモーメントが出た所で、角度「θ」だけ斜めにして磁場を流し
揺れの周期を計る事で、周期と磁場の力の関係式を求めてみる。

揺れの周期と磁場の力との関係式を求めてみる
磁場の強さと、揺れの周期が、周期の2乗の反比例の関係が求まった。

　次に、導線からの距離と磁場との関係式を求めてみる。
　

導線からの距離と磁場との関係式
周期と距離が比例している場合 導線からの距離と、磁場との関係は、距離の2乗の反比例になる。

　ここまでで、ビオサバールの法則の実験を知るための準備ができた。

　1820年、ラプラスは以下の仮説を立てた。

ラプラスの仮説(電流と磁場の関係)
電気素片(ds)を磁荷と考える。 ラプラスの仮説は、電気素片(ds)と、電気素片が作る磁場との関係式だ。 まさにビオサバールの法則の原型なのだ。 だが、この時点では思考段階であり、実験的に証明する必要がある。

　そこでビオサバールが実験的に証明する事にした。
　ところで、実験を行なう際、電流を流す導線に工夫をしているのだ。

ビオサバールの実験。導線がV字型になっている
導線がV字型になっている。それには理由があるからだ。

　導線がV字型になっているのは、この当時、導線が発する磁場は
導線から垂直方向だけで発生していると考えられたからだ。

導線がV字型になっている理由
導線を流れる電流素片(ds)が作る磁場が、導線の垂直方向しか磁場が発生せず 斜め方向の点Aでは、電流素片(ds)が磁場を作っていない場合が考えられる。 その場合、導線をV字型にしておく事で、磁石の位置では 電流が発生する磁場が来ないと考えられるので それを見極めるため、V字型にしているのだ。

　すげー工夫やん!!

　今でこそ、電気素片が作った磁場が、どういう振る舞いをするかが
わかっているので、導線をまっすぐにして実験すればエエやんと思うが
当時は、そんな事すら、わかっていなかったため、
1つ1つ調べていきながら、ビオサバールの法則に近づけていく様子が垣間見える。

　さて、電気素片が斜め方向にも磁場を作るとする。
　その場合、導線がV字型であっても、電気素片が作る磁場は
磁石の位置でも磁場が発生するため、磁石に影響するのだ。

電気素片が斜め方向にも磁場を作る場合
図にように、電気素片が斜め方向にも磁場を作る場合は 磁石がある場所にも磁場が発生するので、磁石は影響を受ける。

　ラプラスの仮説の、電気素片が斜め方向にも磁場を作る場合の
電気素片と磁場との関係式を求めてみる。

　その前に、なぜラプラスの仮説の式が求まるのか考えてみる。

ラプラスの仮説の式
導線をV字型にしているため、上図の式になっている。 なぜ、こういう式になるのか確かめる必要がある。

　そこでラプラスの仮説の式を導いてみるのだ。

ラプラスの仮説の式を導いてみる (下半分の導線を流れる電流が作る磁場)
下半分を流れる電流(電気素片)が作る磁場を求まった。

　導線の下半分を流れる電流(電気素片)が作る磁場を求まった。

　次に上半分を流れる電流(電気素片)が作る磁場を求めてみる。

ラプラスの仮説の式を導いてみる (上半分の導線を流れる電流が作る磁場)
上半分を流れる電流(電気素片)が作る磁場を求まった。

　下半分と上半分の合計を足すと、以下のようになる。

ラプラスの仮説の式を導いてみる
ラプラスの仮説が導けたのだ。

　ラプラスの仮説が導けた所で、実際にビオサバールが実験したのだ。
　この時、V字型の角度αを変えていく事で、同じ電流であっても
磁石の揺れ(周期)が変わったりする事で、電流と磁場との比例関係を
実験的に確かめる事ができるのだ。


　ただ上の実験では、問題が残る。

実験における2つの問題点
地磁気の影響だ。これは無視できない。 そして当時の実験器具の精度なのだ。

　ビオサバールの法則が求まった。
　まっすぐの無限に長い導線が作る磁場は以下のように求める事ができる。

まっすぐの無限に長い導線が作る磁場
磁場の強さは、は電流の強さに比例し、導線からの垂直の距離に反比例するのだ。

　現在では比例定数はわかっているので、改めてビオサバールの法則を書いてみた。

ビオサバールの法則
磁束密度(B)と電流素片との関係式なのだ。 ちなみに磁束密度(B)とは磁場(H)にμoを掛けた物なのだ。

円電流が発生する磁場

　導線に電流を流すと磁場が発生する事がわかった。
　では、導線を円状にした際、円の中心の磁場はどうなるのか？

　それを知る目的は、これから先に出てくる

　ソレノイドコイルを理解するため

　とか

　磁気双極子を理解するための準備

　なのだ。

　最初に目的を書いていた方が勉強しやすい。

　あとビオサバールの法則を使いこなす練習でもあるのだ。

円電流で発生する磁場は?
ビオサバールの法則や右ネジの法則により 円状に導線に流れる電流によって、円を貫く磁場が発生する。

　そこで円の中心を貫く磁束密度(磁場)の大きさを求めてみるのだ。

円の中心を貫く磁束密度
導線の電気素片が作る磁束密度の強さを求める。 求めたい磁場は、円の中心から垂直方向へrだけ移動した位置の磁場なのだ。

　実際に計算してみる。

円の中心を貫く磁場を求めてみる
円の中心軸の位置(r)での磁束密度が求まったのだ。 ついでに、「r=0」の地点、円の中心での磁束密度も求めたのだ。

　ところで円の中心軸上の磁束密度しか求めなかった。
　他の場所に磁束密度になると・・・

　計算がめんどくさい!!

　という本音を出した所で、さっさと逃げることにする。


電磁気学入門の目次