システム奮闘記：その105

物質中の電場と分極

(2016年5月22日に掲載)

物質中の電場

　最終目的である表皮効果の話に入るため、物質中の電場の話をする。
　その理由は

　物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ

　を知るためなのだ。

分極

　まずは物質の中の電場を考える際、物質の原子や分子について見ていく事にした。
　なぜなら外から電場を当てる事で

　電気的性質が変化する

　からだ。

外部から物質に電場を当てると分極する

外部から物質に電場を当てると、物質内の電子が外からの電場によって電場の当たる方向に移動するため、上図のような分極が起こる。電場と分極は比例関係になるとは限らないのだが、ここでは単純に比例関係で考え、比例定数として分極率を考える。


　まずは水素原子の分極から見てみる。

水素原子ついて

水素原子は、中心に正の電荷を帯びた陽子と周辺に1個の負の電荷を帯びた電子が公転している。正しく言うと、電子の軌道は公転軌道ではなく電子雲の中に、確率的に存在しているのだ。雲が存在確率の度合になるのだ。なぜと思った人は、量子力学を勉強してくださいね。


　電子雲は電場を作る。

電子雲は電場を作る

電子雲は電場を作る。それも中心方向の向きだ。陽子から見ると、等方向から電場が来るため電子雲が作る電場では何ら変化は起こらないのだ。


　だが、外部から電場を当てると事情が変わってくる。

水素原子に電場を当ててみる

外からの電場によって陽子の位置がずれていくのだ。


　だが、陽子の位置がずれる事によって、今度は電子雲が作る電場によって
陽子が中心方向に力がかかるのだ。

電子雲の電場に引っ張られる

外からの電場により陽子は中心方向から押し出されるのだが押し出されると、今度は、電子雲が作る電場によって中心方向に押し戻されるのだ。両方の力が均衡した所が、陽子のズレた位置になるのだ。


　陽子がズレた事で、分極が起こる。
　この時、水素原子の分極と分局率を求めてみる。

水素原子の分極と分局率を求めてみる

水素原子の分局率が求まった。実際の値とは異なるのだが桁は同じなのだ。 (ネタばらし) わかった風に書いているが、資料の受け売りなのだ (^^)


　水素原子の分極の次は、物質と分子の話にいく事にする。


導体の外部から電場を当てた場合

　まずは電気を通す導体について。

導体に電場を当てる

自由電子が電場の方向によってくるため、両端で分極が生じる。その分極によって生まれた電場は、外からの電場を打ち消す。


　ただし導体内部で電場がゼロになるのは完全導体の場合だ。
　しかし、鉄や銅などの場合は、導体中でも電場が生じるのだ。

　そのため後で説明する物質中の電場の式が導体でも当てはめる事ができるのだ。　

絶縁体の外部から電場を当てた場合

　ところで電気を通さない絶縁体を考えてみる。

絶縁体の中の分子の様子

絶縁体の中には自由電子がないため電気が流れない。分子は正と負の電気が偏っている。だが、物質中は分子は乱雑に並んでいるため全体としては電場が打ち消し合った状態なのだ。


　電気を通さない絶縁体に、電場を当てると、どうなるのか。

絶縁体に電場を当ててみる

電場を当てる事で、物質中の分子が整列しはじめるのだ。


　そして分子を電気双極子として考える。

分子を電気双極子として考える

分子を上図のように電気双極子として考えてみる。


　分子に電場を当てた場合を考えてみる。

分子に電場を当てた場合

分子は電気双極子と同じで、電気双極子が発生する電場は分子に当てている電場を打ち消す方向になっているのだ。


　物質全体、個々の分子という構図で、電場の様子を見てみる。

物質全体、個々の分子という構図で、電場の様子を見てみる

物質中の電場と、分子(電気双極子)による電場が比例しているとする。比例定数を「電気感受性」という。外の電場(Eo)とと分子(電気双極子)による電場(E')の差が物質中の電場(E)になる。この式を解けば、物質中の電場が求まるのだ。


　電束密度(D)が出てきたのだが・・・

　電場と何が違うねん!!

　なのだ。

　まさに学生時代、電束密度と電場の違いを理解していなかったのだ。

電束密度と電場の違い

ガウスの法則を使えば、わかりやすい。単位面積辺りを貫く電場の束と考えたら良いのだ。全ての面を貫く電場の束(電束密度)を集めると電場を作る電荷量になるのだ。


　こんな事すら・・・

　理解していなかったのだ!!

　どんどん過去の暴露されていく感じだが20年前の話なので
完全に笑い話になるのだ。


　そして電束密度を導入すると、物質の外と中の区別が要らなくなるのだ。

電束密度を導入すると、物質の外と中の区別が要らなくなる

電束密度で表現すると、物質の中と外の区別が要らなくなる。物質の外の電場と真空中の誘電率の積と物質中の電場と物質中の誘電率の積が、電束密度になるからだ。


　物質中の電場だが、分子(電気双極子)が作る電場に注目してみる。

分子(電気双極子)が作る電場に注目してみる

ここで分極(P)を導入する。分極は単位体積辺りの電気双極子モーメントなのだ。物質中の分極が求まるのだ。


　分極とは単位体積辺りの電気双極子モーメント

　というのだ。
　単位体積辺りに換算する分、扱いやすくなると思う。

　ところで求めた分極は何に使うのか?

　外からの電場が、物質中で、どんな風に電場と分極に分解されるのを

見るためなのだ。

外からの電場が、物質中で、どんな風に電場と分極に分解されるのか

外からの電場によって、物質中の電場がどれくらいになるか。外からの電場によって、どれくらい分極が発生するのか見る事ができる。


　物質中の電場と、分極がわかった所で、整理してみる。

絶縁体に電場を当てた場合の物質中の状態

上図のような状態になるのだ。



物質中のガウスの法則

　ところで、分子が作る電気双極子モーメントだが
ここまでは、全て同じと考えた。

　だが、現実には均一とは限らない。
　そこで電気双極子モーメントが均一でない場合を考えてみた。

電気双極子モーメントが均一でない場合を考えてみた

上図のように前後の分子では、お互いの分極が異なるのだ。


　分極が異なるため、以下の事が発生する。

分極が異なるため、電気的偏りが生まれる

個々の分子の分極が異なるために生じる電気的偏りを考える。偏った電荷をqとする。


　電気的偏りのため、その領域に電荷密度が生じる。

電気的偏りによる電荷密度について

分極が異なるために生じる、電荷密度を求めるとガウスの微分系そっくりの式が出てきた。


　分極Pに▽(ナブラ)と電荷密度。ガウスの微分系そっくりの式だ。
　▽・Pがどんな意味なのか図にしてみた。

▽・Pがどんな意味なのか

分極によって生じる電気的偏りの度合を見ているのだ。


　電束密度(D)に、▽(ナブラ)で内積をとると

ガウスの法則の微分系になる。

物質中の電束密度とガウスの微分系

ガウスの微分系にする事で、電場の発生源である荷電密度と分極の偏りによる荷電密度を見る事ができる。


　だが、ここで気づいた人がいると思う。
　絶縁体の中は自由電子がないので

　電場の発生源の荷電粒子はあらへん!!

　という事だ。

完全導体でない場合、物質中のガウスの法則の微分形が成り立つ

　これは導体の話になる。
　導体は自由電子を持っている。

導体の中の電束密度とガウスの法則の微分形

導体の中には自由電子があるので、それらが電場を発生させているのだ。そして導体には電子をとられた分子が、分極するのだ。


　ここまでで、わかった事は・・・

　物質中でもガウスの法則は成り立つ

　というのだ。


電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

電磁気学の目次:「電磁気学入門」に戻る

前章:「無線LANの基礎無線LAN入門と導入事例」を読む
システム奮闘記の目次:システム奮闘記に戻る