システム奮闘記：その105

微分

(2016年5月22日に掲載)

数学の知識が必要なわけ

　電磁気学を勉強する際、数学の知識が必要だ。
　数式とは

　現象を定量的に表現するための言語

　だからだ。

　大きさや強さの度合といった「量」が大事になる。
　どれくらいの量の物質があると、どれくらいの力の量が働くのか。
　それを記述するために数式があるのだ。

　なので数学を理解せずに、式の丸暗記や、出てきた数式の意味を知らずに
電磁気学を勉強しても、物理現象の表現が理解できないため
途中で、わけがわからんようになるのだ。


　偉そうに書いたのだが、実は・・・

　七転八倒して得た体験則なのだ (^^;;

　表皮効果を調べるためには、電磁気学の基本を理解が必要だ。
　そのためには、ベクトル解析をはじめ、微積分の知識も必要になってくる。

いくつかの数式

電磁気学に出てくる数式だ。ベクトル解析の本が補助として必要になってくる。


　だが、数学を勉強をしていたのは20世紀の話。
　今では忘却の彼方なので

　こんな数式なんて忘れてもうた

　なのだ。

　そこで復習しながら、思い出していく事にした。


微分

　まずは高校で習う微分の復習から行なう。
　平たく言えば、以下の説明になる。

微分とは何か?

1本道の話だとわかりやすい。
まっすぐな道でも、山を通ったり、谷を通ったりする。
ある地点での勾配を求めるのが微分という作業だ。
上の例だと、ふもとでの勾配と、山頂付近での勾配だ。
ふもとでの勾配は緩やかで登りやすい。
だが山頂では勾配は急なので登ると息が切れる。

(余談)
広峯神社といえば、2014年の大河ドラマ「黒田官兵衛」のロケ地だ。
南沢奈央ちゃんが演じる・官兵衛の初恋の役の「おたつ」が住んでいた所だ。
神社には、ドラマで黒田重隆が財をなしたという黒田家に代々伝わる
目薬の木も植えている。姫路に来られた際は、広峯神社もお勧めします!!


　微分が勾配を求める事だとわかった所で、実際に数学的な視点から
1変数の関数f(x)を用意して、x=a地点での関数の傾きを求めてみるのだ。

関数の傾きを求めてみる

勾配は傾きだが、まさに傾きは変化の割合なのだ。その点での微分とは、その地点での傾き(関数の変化の割合)を求める事になる。


　傾きを求める際、一般化したい。
　任意の位置xの地点での、関数f(x)の傾きの関数で表わしてみる。

関数の傾きである導関数を求めてみる

先ほどは x=aの地点での関数f(x)の傾きを求めたが今回は、任意の位置での関数の傾きである導関数を求めたのだ。


　関数から導関数を求める事を

　微分する

　というのだ。


　任意の位置での導関数を求める方法がわかったので、
ここで1変数の関数の微分の定義式を書いてみる

微分の定義式

1変数の関数の導関数を求める定義式だ。関数の勾配(傾き、変化の割合)が求める事ができる。


線形化

　そして微分とは勾配や変化の割合を求める意味だけでなく
関数の線形化(平ら)という意味もある。

微分とは関数の線形化(平ら)にする事

確かに微分とは1次元の曲線を、直線にしている。すこし変形してXを変数とする「F(X)=F(a)X」の式にしてしまえば点aでの接線の式は、線形の条件を満たす関数になっている。


　いかにも微分には詳しいような書き方をしているのだが・・・

　この原稿の編集中に線形化の話を知ったのら-!!

　それまでは線形の意味が、全くわかっていなかった。
　つまり大学で

　線形代数を学んだはずだが、理解してへんかった!!

　というのだ。


　そのため以下の事も気づかなかった。

線形関数でない物

「f(x)=x+1」という関数は線形関数ではない。線形条件を満たさないからだ。直線関数であっても、案外、線形関数になってない場合があるのだ。



偏微分

　微分の話は、1変数の関数における変化の割合を求める事だった。

　ここからは多変数の関数における変化の割合の話になる。
　わかりやすく2変数の関数の話で説明する事にした。


　例として、平面(板)の下からガスバーナーで板を熱した場合
平面の温度分布を使って説明する事にした。

　強調しておくが

　私が考えた説明方法

　なのだ。
　本やサイトの丸写しばかりではないのだ。と自慢してみる。

火を使って平面(板)を熱した時の平面(板)の温度分布

2変数(XY平面)の例として、これが一番かなぁと思ったりする。


　ところで偏微分とは平たく言えば・・・

　決まった方向の断面の傾きを見る

　なのだ。

　2変数の関数の場合、2つの方向(2通り)の偏微分があるのだ。
　言葉で説明するよりも具体例を挙げた方がわかりやすい。

　まずはX方向の偏微分。

X方向の断面の温度分布を見てみる

変数Yの値を固定させる。そして断面を見るのだ。


　X方向の偏微分を式にすると以下のようになるのだ。

X方向の偏微分の定義式

Yの値を定数として見ているので、温度分布を表わす関数を Xの関数として考えれば良いのだ。そして変数Xの1変数の関数として、微分すれば良いのだ。



　そしてY方向の偏微分を見る。

Y方向の断面の温度分布を見てみる

変数Xの値を固定させる。そして断面を見るのだ。



　Y方向の偏微分を式にすると以下のようになるのだ。

Y方向の偏微分の定義式

Xの値を定数として見ているので、温度分布を表わす関数を Yの関数として考えれば良いのだ。そして変数Yの1変数の関数として、微分すれば良いのだ。


　2変数の関数の場合、2つの偏微分があった。

　N個の変数の関数の場合は、N個の偏微分がある。

　偏微分とは

　特定の変数の方向の微分

　というわけなのだ。


方向微分

　偏微分は1つの変数の関数と考え、他の変数は定数とみなし
1変数の微分として考えた。
　そのため、微分の方向は決まってしまう。

　好きな方向への微分はあらへんのか!

　と思いたくなる。


　それを行なうのが・・・

　方向微分

　なのだ。


　ここでも板(平面)の温度分布で考えてみる。
　方向微分とは、板(平面)の好きな方向の断面を見て
断面の傾きを見る事なのだ。

好きな方向の断面の変化量を見るのが方向微分

方向によって温度曲線に違いがある。方向別の温度の変化の割合を見たい時に、方向微分を使うのだ。


　方向微分を求めるのだが、この時、必要になるのが

　簡単な力学の知識

　数学は抽象世界を描くため、一般化して説明する場合が多い。
　だが、どう考えても、力学の概念を使って説明している事もある。

　方向微分だと

　速度ベクトル

　が出てくる上

　変数tという仮面を被った時間

　が出てくるのだ。

方向微分の定義

残酷だが、火渡りする人を例にしてみた。
灼熱の地面を走り抜ける。その方向における温度の変化の割合を見るのが
方向微分になる。

どういう経緯かはわからないが、変化の方向に走る抜けるという発想のため
速度や時間の話が出てくる。そのため簡単な力学の知識が必要になる。

ただ、一般化するために、力学を隠蔽しようとする様子(?)が垣間見えるのだ


　さて、方向微分の定義式が出てきた。ここでも注意が必要だ。

　1変数の関数の微分と比較すると、違いが浮き彫りになる。

1変数の関数の微分と、方向微分との比較

普通の微分の場合、変数Xの変化に伴う関数の変化の割合を求めている。方向微分は、パラメーター(時間t)の変化に伴う関数の変化の割合を求めている。同じ量の変化の割合を求める式なのか、違い物が出てくるのか確かめてみる必要がある。


　普通の微分(?)と、方向微分の違いを、簡単な方法で確かめてみる。
　

　そこで以下の2変数の関数で比較してみる。

方向微分と微分の変化量を比較してみる

比較しやすくするため、y=0の時の断面の変化量で見てみる事にした。


　まずは方向微分で変化量を見てみた。

方向微分で変化量を見てみた

変化量は「4」と出た。


　次に1変数の関数での変化量を見てみた。

1変数の関数での変化量を見てみた

変化量は「2」と出た


　方向微分で求めた関数の変化の割合と

　微分で求めた関数の変化の割合は異なる!!

　なのだ。

　どの変数の変化に伴う関数値の変化の割合なのか、注意が必要だ。


　方向微分の話には続きがあるのだが、テイラー展開と全微分を説明した後で
再度、方向微分の話をします。


テイラー展開

　関数を多項式に近似するのがテイラー展開だ。

テイラー展開とは関数を多項式で近似する事

微分可能な関数であれば、x=a付近では上のような多項式の関数に近似できるのだ。近似できるのは、aの周囲だが、多項式で近似できるので、広範囲に使われる。


　ふと思った。

　どうやって、こんな式を導いているねん?


　調べてみると、わかりやすい資料が見つかった。

　微分積分学I （web補講）テイラー展開・テイラー級数(日本工業大学)

　資料によれば・・・

　平均値の定理とロルの定理を使う

　というのだ。

平均値の定理とロルの定理

平均値の定理とロルの定理だ。ロルの定理は、平均値の定理の特殊な場合になるのだ。


　平均値の定理とロルの定理を使って、上手にテイラー展開を導くのだ。


　まずは平均値の定理を使って、微分可能な関数を、別に形に置き換えてみる。

平均値の定理を使って、微分可能な関数を、別に形に置き換えてみる

平均値の定理を使えば、微分可能な任意の関数を多項式で表現できそうな感じに思えてくる。この時点では、余剰項が大きいため、x=aの近傍でもごく狭い領域でしか近似ができない。


　今度はロルの定理を使う。

ロルの定理を使って、より関数を具体化していく

余剰項を、多項式の一部分に置き換えることができるため多項式に置き換えたい関数の中身が具体的になってくる。


　そして平均値の定理とロルの定理を使って、どんどん余剰項を多項式に変えていく

平均値の定理とロルの定理を使って余剰項を多項式に変えていく

テイラー展開の形になっていく。ここから先も、平均値の定理と、ロルの定理を使っていけば元の関数に近い、多項式の近似関数が求められる。それによりx=aの近傍の範囲も広がっていくのだ。


　目からウロコ

　なのだ


全微分

　微分、偏微分、方向微分を説明した所で、全微分を説明するのだ。

　といっても難しくはない。
　考え方は、1変数の微分と同じなのだ。

　全微分とは関数の傾き(勾配)を求める事

　なのだ。

　多変数の場合、偏微分や方向微分の場合があるので
偏微分や方向微分とを区別するため「全微分」と言っているようだ。


　さて、そこで先ほど使った、熱した板(平面)の温度分布を例にして
全微分を説明していく。

板上の2点の温度差を考える

外側寄りの点Pと、内側寄りの点Qの温度差を考える。


　だが、2点間の距離を求めて、温度の変化の割合を
直接求めるのは、案外、困難なのだ。

直接、変化の割合を求めるのは困難

1変数の微分と違い、いきなり直線距離を使って関数の変化の割合を求めるのは困難なのだ。


　そのため迂回した道順を使うのだ。

迂回して考える

途中、点Kを設けて、Kに迂回した順路を考える。「急がば回れ」ではないが、迂回して求めた方が遥かに楽なのだ。


　早速、迂回して関数の値の変化量(温度変化)を求めてみる

迂回して関数の値の変化量を求めてみる

途中、点Kを設ける事で、A→Kの時の関数の値の変化量の近似値と K→Bの時の関数の値の変化量の近似値が求めやすくなる。 AB間の距離をゼロに近づける事で、点Aの地点での関数の変化量が求められるのだ。ここで求まった式を「全微分」というのだ。


　全微分の定義式を知る事ができた。
　そして気づいた。

　全微分は関数の値の変化量であって

　変数の変化に対する、関数の変化の割合ではない!!

　いかに、学生時代、何も考えずに数学を勉強したのかがバレバレだ。
　でも、20年も昔の話なので、気にしない。


　全微分の式の意味を考えてみる。

全微分の式の意味

2変数の関数の全微分の場合、関数の値の増加量は X方向の微小量の増加と、Y方向の微小な増加の和になっている。視覚的にすると、わかりやすくなると思ったのだが・・・


　視覚的に表わしてみたのだが、これだと

　イマイチ、よくわからへん!!

　すなわち、全くわからないという事なのだ。


　だが、ある事に気づく。

　全微分は内積の式やん

全微分の式は2つのベクトルの内積

全微分の式は、2つのベクトルの内積になっているのだ。 (dx,dy)のベクトルは、変数の変化の向き、即ち、移動の方向のベクトルなのだ。


　学生時代、全微分が内積なのには、気づかなかった。
　いかに数学を理解していなかった事がバレバレだ。


　内積である事に気づいた後、次の事にも気づく。

　等高線上の移動の場合

　なのだ。

全微分の式の意味(等高線上の移動で考える)

移動の向きのベクトル(dx,dy)が等高線上の方向だと温度の変化はゼロのため、全微分の式はゼロになる。すると自動的に、もう1つのベクトルが、等高線に対して垂直方向のベクトルになるのだ。


　等高線に対して垂直方向のベクトル。
　このベクトルの向きは

　等高線の山の方なのか、谷の方なのか

　が問題になる。


　実際に、2変数の関数を使って、視覚的に見てみる事にした。

2変数の関数を使って、視覚的に見てみる

問題になっているベクトルは、高い所に向うベクトルになっている。このベクトルを勾配ベクトルというのだ。


　単純な物なら手計算でできるのだが、少し複雑になると、面倒になるし
もっと複雑になると、手計算では無理だし、図も描けなくなる。

　もっとわかりやすい方法がある。

　数学ソフトの

　GeoGebraを使うのだ!!

　GeoGebraの賢いのは、関数の微分や偏微分を出してくれるのだ。
　そのため関数を入力すれば、簡単に勾配ベクトルを求められる。

　以下の資料を参考にしたのだ。
　ベクトル解析における3次元動的数学ソフトウェアの教育利用と検証

　現在、日本大学の濱田龍義さんの資料で、私にGeoGebraを紹介してくださったのも濱田さんなのだ。　
　福岡のOSCでもお世話になった方なのだ。

2変数の関数と勾配ベクトル

GeoGebraを使うと、手軽でわかりやすいベクトルの大きさは、同じ長さにそろえましたが勾配の度合いを見るために、ベクトルの大きさを、長さで表現する事もできる。


　GeoGebraを使って、少し遊んでみる。
　2つの山の場合の勾配ベクトルがどうなっているのか見てみる。

2つの山がある場合の勾配ベクトルを見る

x=0のところでは、y=0の部分が高い山なので、y=0になる方向に向いている。だが、x=0からずれると、片方の山に向った方向になる。


　GeoGebraは数学や物理を視覚的に学ぶのに非常に便利なソフトなのだ。


方向微分の意味

　方向微分の話が中途半端になっていたので、続きを書く事にする。


　方向微分が具体的にどういう量なのか計算してみた。

方向微分が具体的にどういう量なのか計算してみた

方向微分は、勾配ベクトルと速度ベクトルの内積なのがわかった。ただ、方向微分が、速度vで移動する時、時間(t)の変化における関数値の変化の割合としか言えない。


　ところで・・・

　方向微分をどう解釈すればエエのか、わからへん!!

　なのだ。

　方向微分は、使い道があるのかいなと思ってしまう。
　だが、意外な事を知る。

　合成関数の微分は方向微分

　なのだ。

合成関数の微分は方向微分

1変数の関数で確かめてみると、関数の傾き(勾配)と速度の積になっている。こんな話、全く知らなかった。


　数学を勉強していない事がバレバレなのだ。


　ただ、方向微分の意味がわかったわけではない。
　でも、使い道がないわけではない。

　単に私が知らないだけ

　なのだ。

　ここで方向微分の話を出したのは理由がある。
　あとで出てくる多様体の話と結びつくからだ。


　あと2変数の関数の全微分なのだが、山を使って説明しようと考えた。
　だが、山を使って説明した場合・・・

　2次元と3次元を混同してしまう!

　の問題が起こってしまう。

　私自身、そのワナに嵌まってしまったので、折角、作った絵を
ボツにせざる得なかったのだ。

山を使った説明が良くない理由

山で考えると、日常の山登りを考えてしまう。
そのため速度ベクトルといえば、山の斜面に向いた方向を考える。
無意識のうちに、3次元で考えてしまうのだ。

だが扱うのは、2変数の関数なので、あくまでも2次元の世界だ。
そのため、日常の感覚とズレてしまい、混乱や誤解を招いてしまうのだ。


　以上、私の失敗談を書いたのだ。


電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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