システム奮闘記：その105

オームの法則

(2016年5月22日に掲載)

オームの法則の微分形

　オームの法則といえば、知っている人は多い式だ。

オームの法則

「電圧=電流×抵抗」の式で、中学の理科で習ったと思う。


　オームの法則だが、これも微分形があるのだ。

導線の断面を見てみる

導線の断面にある微小領域を見てみる。電流とは単位時間辺りに流れる電荷量の事だ。そこで微小領域を単位時間辺りに流れる電流密度を求めてみるのだ。


　電気回路の話になるが、抵抗が半分になれば、流れる電流は倍になる。
　反対に抵抗が倍になれば、電流は半分になる。

オームの法則より

導線の断面積を増やせば、抵抗が減り、電流が流れやすくなる。
導線の長さが長くなれば、抵抗が増え、電流が流れにくくなる。
電気の流れやすさの指標の電気伝導度が求められる。

電位は電場と距離の積なので、電場と電流密度との関係式が導ける。
これがオームの法則の微分形になるのだ。



抵抗とジュール熱

　ところで抵抗に電気を流すと、熱が発生する。

抵抗器に電気が流れると熱が発生する

抵抗器に電気を流すと、熱が発生する。電気エネルギーが熱に変換されているからだ。


　電磁気学の本に熱が発生する仕組みが書いてあったので、見てみる事にした。


　まずは電場が荷電粒子に働く力(ローレンツ力)を見てみる。

電場が荷電粒子に働く力(ローレンツ力)

荷電粒子にかかる力の式だ。 F=ma (F:力、m:質量、a:加速度)の力学の公式だ。


　だが、荷電粒子は加速をしつづけるわけではない。

荷電粒子は一定の速度までしか上がらない

荷電粒子は永遠に加速したら、どんどん速度があがり、光の速度を超えてしまう。そんなわけはないので、どこかで落ち着くはずなのだ。


　地上で物体を転がす際、ある程度の加速があっても
地面との摩擦だったり、空気抵抗があったりするので
加速にも限度がある。

　それと同じで、導線内を走る荷電粒子にも
摩擦力にあたる物に阻まれ、加速しなくなるのだ。

摩擦力を受ける荷電粒子

摩擦力を受けるため、荷電粒子はある速度以上には上がらない。この事から、式を触っていくと、電気の流れやすさの電気電導度がどんな変数で構成されているのかも、わかってくる。


　電場によって力が働き、荷電粒子は速度を上げるが、
摩擦力によって、一定の速度以上には上がらない。

　一定の速度になった時、電場から与えられた仕事(エネルギー)は
摩擦力によって奪われて、一体、どうなるのか?

摩擦力によって、奪われたエネルギーは何になるのか

摩擦力によって奪われたエネルギーこそ、熱エネルギーになる。ジュール熱と呼ばれる物だ。電気電導度が大きいと、ジュール熱が発生しにくい。電気が通りにくい事は、熱が発生しやすい事なのだ。電子が移動する際の平均速度をドリフト速度という


　ところで電気電導度を構成する変数で時間に関する変数がある。
　これは摩擦力の正体とも言える。

電気電導度を構成する変数で時間に関する変数

電気電導度を構成する変数の中にある時間の次元を持つ変数は荷電粒子が原子という障害物に当たるまでの平均時間を表している。摩擦力の正体は、原子への衝突であり、衝突にによって奪われるエネルギーなのだ。奪われたエネルギーは熱になるのだ。


　電気ストーブでは、ニクロム線を使って、熱を発生させている。
　電気が通りにくいニクロム線を使って、電気エネルギーを
熱エネルギーに変換しているのだ。


　ところで、電子の速度はどれくらいなのか。
　学生時代はもちろんのこと、この記事を書いている時も疑問に思わなかった。
　だが、編集が佳境を迎えた時、以下のサイトを見てしまった。

　電流のエネルギーは電線の外を伝わる！(松田卓也先生「教科書の教えてくれない物理」第1回 | 大学ジャーナル)

　大事な事が抜けていた事に気づかされた。

　導線内の電子の速度を考えた事はあらへんかった!!

　なのだ。

　数式を触って、わかった気になっていたのだが
肝心の電子の速度がいくらなのかを調べる事はしていなかったのだ。

　全く物理に向いていない事が露呈していく


　ところで電線の中の電子の速度は

　カタツムリと同じくらい

　なのだ。

電子の速度はカタツムリと同じくらい

電流が流れている時、導線内の電子の速度はカタツムリと同じくらいの速度で移動している。電気はカタツムリと同じ速度で伝わるとした場合、おかしな事が起こる。家の照明でスイッチを入れた瞬間、照明が点灯する。カタツムリと同じ速度で電気が伝わると、説明できない話になるのだ。


　この矛盾。考えるとわけがわからんようになる。
　あとでわかったのだが、答えは・・・

　電流と電気エネルギーは別物で

　電気エネルギーは導線の外を伝わる

　というのだ。

　これを知った時・・・

　ウソやろ。なんでやねん!!

　だった。驚愕だった。

電流と電気エネルギーの違い
電流	単位時間当たりに流れる電荷量。カタツムリの移動速度と同じくらいで非常に遅い。電子の平均速度をドリフト速度という。
電気エネルギー	光速と同じ速度で伝わる。


　電気エネルギーが、どうやって電線の外を伝わるのか?
　この話は電気エネルギーは電線の外を伝わるで後述しました。


電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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