システム奮闘記：その105

マックスウェルの方程式

(2016年5月22日に掲載)

マックスウェルの方程式は4つある

　ガウスの法則、渦なしの法則、アンペールの法則、ファラデーの電磁誘導の
それぞれの微分形の話を説明した。

　実は、それらは電磁気の基本方程式のマックスウェルの方程式なのだ。

マックスウェル(Maxwell)の4つの方程式

真空中の電磁気の基本的な式は上の4つの式になる。 1つ目はガウスの法則の微分形。 2つ目は磁場の渦無しの法則の微分形だ。 3つ目はアンペールの法則を修正したもの。 4つ目はファラデーの電磁誘導の微分形になる。


　1番目、2番目、4番目は、ここまでの話で出ている。


アンペールの法則と変位電流

　3つ目の式は、アンペールの法則の欠陥を修正した式になる。
　どういう欠陥があり、どうやって修正したのかを
本を追っかけながら見てみる事にした。

回路にコンデンサーがあった場合

コンデンサーがあると、充電するまで電気が流れる。コンデンサーの極板間は、導線がないのだ。


　この時、アンペールの法則に矛盾が出る事に気づいたのは
マックスウェルだった。

　コンデンサーがある事で、アンペールの法則の矛盾が浮き彫りになる。

アンペールの法則の矛盾

コンデンサーの極板の間では、導線がない上、電気が流れていない。
だが回路全体として、充電中は電気が流れている。

アンペールの法則は、面を貫く電流と磁場の関係を表している。
そのためS1の面と、S2の面の両方を見ても、結果は同じになるはずだが
コンデンサーがある場合、極板間には電流が流れないため
アンペールの法則が成り立たないという矛盾が出てくる。


　そしてコンデンサーがあるとアンペールの法則の微分形でも矛盾が発生する。

アンペールの法則の微分形の矛盾

通常の回路なら、導線の一部を取り上げてみると
電流(電荷)が入ってくる量と、電流(電荷)が出ていく量は同じになる。

だが充電中のコンデンサーの極板を見ると、電流(電荷)は入ってくるが
コンデンサーに電荷が溜るため、電流(電荷)はでていかない。
そのためアンペールの法則の微分形でも矛盾が生じてくる。


　そこで、この問題を解決するために

　架空の変位電流

　が設けられた。

変位電流を設ける事で

コンデンサーの極板間に、変位電流という架空の電流を設定する事でアンペールの法則が成り立つようにしたのだ。変位電流は、極板間の電場の時間変化量に比例した量となっている。


　実際に、本を追っかけながら、変位電流を求めてみる。

変位電流は、どんな量なのか

充電中のコンデンサーに流れる電流と電荷で考えてみる。
極板に電荷が溜るため、電位差が生じ、電場が発生する。

電場の時間変化を見ると、回路を流れる電流に比例している。
極板の面積で割ると、回路を流れる電流密度が求められる。

回路を流れる電流密度は、電場の時間変化量に比例している。
変位電流は電場に比例した量となっている。

変位電流は、コンデンサーに流入する電流密度と同じになる。


　変位電流を設ける事で

　回路全体が切れ目なく電流が流れている

　と見る事ができるのだ。

　変位電流をアンペールの法則に追加する事で、矛盾が解消できた式ができる。

マックスウェル・アンペールの法則

マックスウェルによって拡張された式の事を「マックスウェル・アンペールの法則」と呼ぶのだ。


　実際に矛盾が解消されているかどうか確かめてみる。

マックスウェル・アンペールの法則を確かめてみる

コンデンサーを貫く架空電流(変位電流)を設ける事でアンペールの法則の矛盾を解消できている。


　そのお蔭で、コンデンサーの極板間で発生する磁場も求められる。

コンデンサーの極板間で発生する磁場を求められる

極板間での電流と磁場の関係に適用してみる。変位電流がある事で、磁場が求める事ができる。


　マックスウェル・アンペールの法則の微分形でも確かめてみる

マックスウェル・アンペールの法則の微分形で確かめてみる

コンデンサーの極板に入ってくる電流(電荷)と出ていく電流(架空の変位電流)があるため式が矛盾なく使える事がわかる。




準定常電流

　定常電流は直流電流の事を指す。
　準定常電流とは、直流電流と同じ扱いができる場合なのだ。

準定常電流が直流電流と同じ扱いができる理由

交流の場合、変位電流の影響を考える必要があるのだが
変位電流が小さい場合、それを無視する事ができる。
変位電流が無視できる電流の事を「準定常電流」というのだ。

電気回路や電子回路を扱う分には、変位電流は無視して良いのだ
電気回路については「システム奮闘記:その98」(電気回路入門)をご覧ください。



マックスウェルの方程式は全て微分形

　最後にまとめてみると、マックスウェルの方程式は以下の4つになる。

マックスウェル(Maxwell)の4つの方程式

真空中の電磁気の基本的な式は上の4つの式になる。 1つ目はガウスの法則の微分形。 2つ目は磁場の渦無しの法則の微分形 3つ目はアンペールの法則の微分形 4つ目はファラデーの電磁誘導の微分形


　共通して言えるのは

　全て微分形

　なのだ。


電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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