システム奮闘記：その105

静電場中の渦なしの法則

(2016年5月22日に掲載)

渦なしの法則

　渦なしの法則とは、静電場の場合に成り立つ法則なのだ。

静電場における渦なしの法則の式

積分形と微分形がある。静電場の場合、電場と微分演算子(∇)の外積がゼロになる。勘の鋭い人は、ストークスの定理を連想するかもしれない。でも、私は全く連想しなかった。


　上記の式がどういう意味なのか、見ていく事にする。


　ところで、微分形には回転のrotが出てくる。
　一般的に以下の図のような説明がされている。

rotは回転という説明

測定値点に水車があると考える。ベクトルの流れが場所によって異なる場合強い方が水車を回わして、回転させるという発想だ。 rotは、回転軸方向のベクトルになるのだ。


　この時点で、渦なしの法則と、rot(回転)は結びつかないので

　だから何やねん?

　になる。


　電磁気の本を見ながら、渦なしの法則を導いてみる事にした。
　まず静電場中に荷電粒子を置き、ぐるっと1周させた場合の
仕事量を求めてみる。

静電場をぐるっと1周しても電荷がする仕事は同じ

電位とは、電場における高さに相当する。
電荷を高い所に引っ張りあげても、その後、元の場所に戻せば
電荷がした仕事はゼロになるのだ。

(1周させる際は反時計回り)

1周させる時、2次元のグリーンの定理やストークスの定理と同様
反時計周りになっている。
ぐるっと1周させる時の、正の方向の回転になる。
なぜ反時計周りにしているのかは後述しています。


　ここでストークスの定理が役に立つ。

静電場でもストークスの定理が成り立つ

静電場でもストークスの定理が成り立つ。そのため、渦無しの法則の( ▽×E =0 )が成り立つのだ。


　静電場では

　渦なしの法則 ▽×E =0 が成り立つ

　のだ。


　ところで、本当に静電場でストークスの定理が成り立つのか。
　そこで実際に計算して、成り立つ事を示してみたのだ。

静電場の空間の微小領域に長方形を設ける

微小な静電場の空間の微小領域に長方形ABCDを設ける。


　長方形の上を荷電粒子をのせて、微小領域を、ぐるっと1周させる。
　その時の、電荷がする仕事量を求める。

荷電粒子を、微小な長方形の外周を1周させる。

A→BとC→Dでの仕事量を求める。互いに平行な辺での仕事量の差を求めるのは、計算を楽にするためなのだ。


　そして残りの2辺の仕事量を求める。

電荷がする仕事量を求める

残りの辺 B→Cと、D→Aでの仕事量の差を求める。


　そして仕事量の合計を求める。

電荷がする仕事量の合計

微小領域で、長方形上を、ぐるっと1周した時、電荷がする仕事が求まった。


　求まった数式の意味を考える。

求まった数式の意味

長方形の面積と、面に垂直なベクトルが求まった。


　この微小な長方形を、いくつも重ねると以下のようになる。

微小な長方形を重ねると、大きな外周になる

静電場なので微小領域を1周しても、大きな長方形を1周しても合計の仕事量はゼロになり、同じになるのだ。ストークスの定理も求まった。


　さて、1歩前に戻って、微小領域での1周した時の電荷がする
仕事量がゼロである事を考える。

微小領域の長方形で1周した時の仕事量はゼロ

静電場で、微小領域の長方形で1周した時の仕事量はゼロ。だが面積やベクトルはゼロでないため、この式を満たすためには ▽×E =0 になる必要がある。


　ところで

　▽×E =0 はどういう状態やねん!!

　という疑問が生まれてくる。

▽×E =0 はどういう状態

ベクトルの流れの所に水車を置いた説明をよく見る。水車が回転しない状態を ▽×E =0 という状態だ。


　そして、▽×E =0 は外積がゼロという意味だ。

　外積(クロス積)がゼロというのは、お互いが平行という意味なので

　▽(ナブラ)は、電場と同じ向きのベクトル

　と解釈して良いのだろうか?

▽×Eの意味を考える

ここでは、∇(ナブラ)にはベクトルの意味はなく
単なる微分作用素であり、∇をベクトルの形にして計算すると
rotの形が、外積(クロス積)として表現できるにすぎないのだ。

だが、その事は後になって知った事なので、渦なしの法則の微分形と出会った時
∇(ナブラ)は、どういうベクトルなのか、考え込んでしまったのだ。


　一体、どう解釈すれば、エエねん!!

　だが、後になって、rotはベクトルの微分だと知った。
　▽×Eは、ベクトルEの微分なので、以下のように解釈できる。

▽×Eは、ベクトルEの微分

▽・Eは、流入と流出のベクトルの変化量だった。 ▽×Eは、隣のベクトルとの変化量だ。だが、▽×Eで求まる外積の向きは、▽とEに垂直なのでどういう意味を持つのか、悩んでしまう。それについては後述しています。


　先に答えを言ってしまったのだが、

　これで良いのだ

　と、バカボンのパパのように決め台詞を言う。

rotはベクトルの微分について
本当の事を書くと、学生時代も、この原稿を書きはじめた時も回転のrotが、ベクトルの微分とは知らなかった上そんな事すら考えもしなかった。だが、色々、調べていくうちに、ベクトルの微分だというのを知った。だが、前述に発散のdivもベクトルの微分だと書いた。 2つのベクトルの微分の違いと、rotがベクトルの微分であることを知ったのかその過程については後にある回転のrotはベクトルの微分や微分形式で書いています。

rotはベクトルの微分について

本当の事を書くと、学生時代も、この原稿を書きはじめた時も
回転のrotが、ベクトルの微分とは知らなかった上
そんな事すら考えもしなかった。

だが、色々、調べていくうちに、ベクトルの微分だというのを知った。
だが、前述に発散のdivもベクトルの微分だと書いた。
2つのベクトルの微分の違いと、rotがベクトルの微分であることを知ったのか
その過程については後にある回転のrotはベクトルの微分や微分形式で書いています。



電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
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物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
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表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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