システム奮闘記：その105

ベクトルポテンシャル

(2016年5月22日に掲載)

磁場のポテンシャル

　ベクトルポテンシャル。
　よくわからん存在なのだ。本を見てもわからない。

　もちろん学生時代に電磁気学の所で習ったが

　全く理解できへんかった!!

　そもそも

　B=▽×Aと置いて、何を意味するねん!!

　だった。


　私が学生時代、インターネット上で、大学の講義資料の公開なんてなかったし
わかりやすいサイトもなかった。

　だが、21世紀になって15年も経つと探せば見つかるのだ。

　琉球大学の前野昌弘さんが作成された講義資料を発見した。

　2008年度電磁気学II 講義録(PDF)
　琉球大学の電磁気学2013年度講義資料

　前野さんの資料を見た時

　目からウロコ

　だったのだ。

　その感激を伝えたくなったので、ベクトルポテンシャルについても触れる事にした。

磁場にポテンシャルのはあるのか?

　先人が、そういう風に考えるもの不思議ではない。

電場のようには、うまくいかない
だが、磁場の場合、導線の周囲を回るため 電場と同じ定義でポテンシャルを決めると問題点が出てくる。 階段を登り降りして元の位置に戻ったら、1階から2階に 上がっていたという感じになるのだ。

　でも、これでめげない先人達だった。

渦無しの法則を活用する
ベクトルAは、ベクトルポテンシャルと定義する。 この時、「B=▽×A」の定義式が出てくるのだ。 ∇・B=0なので、B=▽×AとなるベクトルAが存在する。 任意のベクトルAは、∇・(▽×A)=0になる だいぶ後で紹介する微分形式をすれば、すっきりした形で 納得できるのだ。それはお楽しみに。

　だが、この段階では

　「B=▽×A」だから何やねん?

　になる。


電流が作る位置エネルギー

　「B=▽×A」なのだが、これを絵に描いてみると、わかりやすくなる。

「B=▽×A」を絵にしてみる
磁場は導線から遠ざかれば遠ざかる程、弱くなる。 それと磁場は、導線の周囲を円形状のように回転している。 内側の磁場と外側の磁場との間には強さの差が生じる。 この時に発生している渦こそ、ベクトルポテンシャルの渦になる。

　そして前野さんの講義資料に

　ベクトルポテンシャルは電流が作る位置エネルギー

　という文字を見た。

　思わず目からウロコ

ベクトルポテンシャルは電流が作る位置エネルギー
電流の向きと並行の方向にあるベクトルポテンシャル。 導線から遠ざかると、強さが減っていくのだ。 これだとベクトルポテンシャルが導線から遠ざかると 磁場(B=▽×A)も小さくなる事が納得できる。

　そして

　ベクトルポテンシャルが電流と同じ向きとは

　想像もしてへんかった!!!

　のだ。


　ところで電場では、電位から点電荷の分布を知る事ができる。
　同じように、ベクトルポテンシャルでも、同じような物があるのか。

磁場では、ポアソンの法則に相当するのがあるのか
アンペールの法則の微分形を活用すれば、導き出せるという。 その結果、ポアソンの方程式にそっくりな物が導ける。 電位ポテンシャルの場合、ポアソンの方程式により その空間の荷電粒子の密度がわかる。 ベクトルポテンシャルの場合、導線を流れる電流密度がわかるのだ。

　ところでゲージ変換の所は軽く流した。
　そのため読者から

　ゲージ変換は取り上げへんのか?

　と言われそうだ。

　逃げようと思ったのだが、逃げられそうにもないので
ゲージ変換の章を設けて、少し触れる事にした。

　ただ、マックスウェルの方程式の話を知らないと、
ゲージ変換の話が理解できない(少なくとも私は理解できなかった)ので
マックスウェルの方程式の話の後に、ゲージ変換について書きました。


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