システム奮闘記：その105

ゲージ変換



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(2016年5月22日に掲載)



ゲージ変換とマックスウェルの方程式


　ベクトルポテンシャルの話の部分で、マックスウェルの方程式を知らないと
ゲージ変換が理解できないと書いた。


　マックスウェルの方程式に触れたので、ゲージ変換の話をする。

　ゲージ(guage)とは

　物差し、測定器、計測器、規格

　の意味がある。

　ここでは調整棒の意味で使われる。

　ゲージ変換の役目を書く前に、ゲージ変換の目的を書く方が
話がわかりやすくなる。　
マックスウェル(Maxwell)の4つの方程式
マックスウェルの方程式
電場(E)と磁場(B)の関係式になっている。 

　マックスウェルの方程式をゲージ変換を使って

　電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルの関係式

　に書き換えるのが目的だ。


　もちろん、何の資料も読まずに上の事が書けるわけがない。
　いくつかのサイトや資料で勉強したのだ。
　電磁気学 放送大学(岡部洋一 放送大学教授)
　電磁ポテンシャルの導入(筑波大学・武内准教授)
　電磁ポテンシャルとゲージ変換(株式会社　フォトン)

　目的を書いたあとで、ゲージ変換とは何かを見てみる。


　マックスウェルの方程式の1つの磁場の渦なしの法則

　∇・B=0

　を見てみる。

　既に出ている話なのだが、復習を兼ねて説明すると
任意のベクトルAがあれば

　∇・∇×A=0

　が成り立つので、磁場とベクトルポテンシャルの関係式

　B=∇×A

　が成り立つ。


　次に、マックスウェルの方程式の1つの
ファラデーの電磁誘導の式を見てみる。
ファラデーの電磁誘導を書き換え
ファラデーの電磁誘導を書き換え
ファラデーの電磁誘導を書き換えて、磁場(B)から
ベクトルポテンシャル(A)の式に置き換えた。

静電場だと、電場は電位ポテンシャルの勾配になるのだが
変動する電場と磁場中では、電位ポテンシャルは
ベクトルポテンシャルの時間変動が加わってくる。 

　ところで電場と磁場がわかっていても
電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルは、一意に決まらない。

　どういう事かと言うと、
電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルは、一意に決まらない
電場と磁場がわかっていても電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルは、一意に決まらない
電場と磁場がわかっていても、電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルは
複数の値(というよりも無限通りの値)をとってしまう。

不定積分して、任意定数が出てしまい、一意に決まらないのと同じなのだ。 

　だが、一意に決まらない事を逆手に取る事もできる。

　そこで両者を調整棒としての調整変数を使って表現してみる。
電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルを調整変数(Χ)を使って調整
電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルを調整変数(Χ)を使って調整
ベクトルポテンシャルが一意に決まらないのを逆手にとって
任意のスカラー変数のΧを調整変数として入れる。

そこから式を展開していき、一意に決まらない電位ポテンシャルにも
調整変数のΧを入れる。 

　ベクトルポテンシャルと電位ポテンシャルの両方に
調整変数のΧを入れた。
　まるでΧをつかって変換している感じがする。
　まさに・・・

　ゲージ変換とは

　(φ,A)→(φ',A')に変換する事

　なのだ。


　変数Χを導入しても、電場も磁場も変化しないため
変化しない事を

　ゲージ不変性、もしくはゲージ対象性

　というのだ。


　ところで電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルの2つの事を

　電磁ポテンシャル

　というのだ。


　さて、マックスウェルの方程式で、ガウスの法則の微分形が残っていた。
ガウスの法則の微分形を書き換える
ガウスの法則の微分形を書き換える
ガウスの法則の微分形が、電磁ポテンシャルの式に書き換わる。 

　次に、マックスウェルの方程式の、修正アンペールの法則の
書き換えを行なってみる。
修正アンペールの法則の書き換え
修正アンペールの法則の書き換え
電磁ポテンシャルの式に書き換わった。 

　電磁ポテンシャルを使ったマックスウェルの方程式になったのだ。
電磁ポテンシャルを使ったマックスウェルの方程式
電磁ポテンシャルを使ったマックスウェルの方程式
電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルが入り組んだ式になっている。
2つのポテンシャルを分離した式ができれば、すっきりした形になる。 





ローレンツ条件


　そこで電位ポテンシャルとベクトルポテンシャルを分離した
すっきりした式にする方法がある。

　ローレンツ条件の導入

　なのだ。
ローレンツ条件
ローレンツ条件
ローレンツ条件とは、上の式を満たす場合の事だ。 

　ローレンツ条件は物理的にどんな意味合いなのか。
　調べてみると、以下のサイトを発見
　ローレンツゲージの意味

　読んでいくと・・・

　物理的意味はあらへん!

　というのだ。

　電磁ポテンシャルで記述するマックスウェルの方程式を
見栄えを綺麗にするための数学的技術というようだ。


　早速、ガウスの法則の微分形に、ローレンツ条件を代入してみる。
ガウスの法則の微分形に、ローレンツ条件を代入
ガウスの法則の微分形に、ローレンツ条件を代入
ベクトルポテンシャルが消えて、電位ポテンシャルの式になった。 

　次に修正アンペールの法則に、ローレンツ条件を代入してみる。
修正アンペールの法則に、ローレンツ条件を代入
修正アンペールの法則に、ローレンツ条件を代入
電位ポテンシャルが消えて、ベクトルポテンシャルの式になった。 

　すっきりしたマックスウェルの方程式がでてきたのだ。
ローレンツ条件を満たしたマックスウェルの方程式
ローレンツ条件を満たしたマックスウェルの方程式
すっきりした式になっている。 




ダランベール演算子


　ところでダランベール演算子というものがある。
　上のマックスウェルの方程式に含まれているのだ。
ダランベール演算子
ダランベール演算子
ダランベール演算子を桃色で囲んでみた。
εoμoは光速の反2乗なので、係数を、光速に置き換えた形が
ダランベール演算子として使われている。 

　ダランベール演算子を少し崩すと以下のようになる。
ダランベール演算子を少し崩す
ダランベール演算子を少し崩す
時間の次元が入ったラプラシアンになっている。 

　マックスウェルの方程式が、すっきりした感じになった
　ところで、ローレンツ条件を見直してみると、ある事に気づく。
ダランベールとローレンツ条件は綺麗な形
ダランベール演算子とローレンツ条件
見た感じ、両者とも、綺麗な形になっている。
ローレンツ条件には対象性があるのだ。 

　綺麗な条件を入れる事で

　綺麗な方程式に仕上げる!!

　まさに物理法則の背景に潜む、数学の世界の神秘なのだ。


　綺麗な形になった。
　

　ゲージ変換を発展させたのが

　ゲージ理論

　なのだ。

　相対性理論、量子力学でもゲージ変換は出てくる。

　なので、難しい事に挑戦される方は、頑張って勉強してください。
　私は、ここで

　名誉なき撤退。即ち、ただの脱走

　をするのだ!!



電磁気学入門の目次
電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル 簡単なスカラーとベクトルの話です。
ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則 今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷など
どういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用 4つの力のうち、クーロン力の位置づけ
電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分 簡単な微分、全微分、方向微分の話です。
ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味が
わからなくなります。
ベクトル解析 電磁気に必要なベクトル解析の話です。
勾配(grad)、2次元のグリーン定理
ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル 電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子 電気双極子の話です。
物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則 ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式 ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。
単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない
奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数
グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則 静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ
微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則 電気と磁場の関係の発見の話から
ビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子 磁気双極子の話で、回転電流になります。
物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則 アンペールの法則の話です。
積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る
磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力 磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。
ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則 ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験 電力計に使われるアラゴの円盤。
そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流は
レンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。

アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。
気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。
電位は電荷が作る電気のポテンシャルだが
ベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形 微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式 4つのマックスウェルの方程式を書いています。
電場と磁場の変化を図にする事で
rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換 ゲージ(gauge)は物差しの意味です。
マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から
φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に
書き換える際、ゲージ変換が使われます。
ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波 マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を
視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分 ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotは
ベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系 電磁気学の単位系の話です。
物理量の単位系の指数を見る次元解析
電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話 電気は物体なのか、無形物なのか。
明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで
窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。
ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル ベクトルの話です。
矢印だけがベクトルでない事。
数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。
多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体 空間を一般化した話です。
▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数 外積、テンソルについて書いています。
極性ベクトル、軸性ベクトル
外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係 反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係
ベクトル解析、外積代数の話
外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論 磁場は電場の相対論的効果だった話です。
ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式 多様体の話の続きです。
座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。
ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が
鮮やかな形で表現できます。
∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性 マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。
物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると
意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力 電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを
説明した考え方です。
電場エネルギー 電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー 磁場が持つエネルギーの式です。
手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル 電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。
電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話から
ポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる 導線の外を電気エネルギーが流れる話です。
私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら
「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場 物質中の電場の話です。
分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場 磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式 物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波 導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。
表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果 目的の表皮効果の話です。

マックスウェルの方程式を解きながら
交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。
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