システム奮闘記：その105

回転のrotはベクトルの微分

(2016年5月22日に掲載)


渦なしの法則と回転のrot

　回転のrotは、以下の図で説明される事が多い。

渦なしの法則とrot(回転)の関連
静電場だと、電場の強さが場所に関係なく一定なので 水車を回わらない。そのため回転軸方向に何も働かないのだ。

　電磁気学の教科書でよく見られる説明なのだが、
こんな説明を見ても・・・

　よくわからへん!!

　なのだ。
　

　これだけだと、rotと回転が結びつかない。
　だが、琉球大学の前野さんの資料を見た。

電場と磁場の振幅の様子
隣接する電場の回転の差が、磁場の時間変化になる。 電場のZ軸方向の変化量と、磁場の時間変化をつないでいるのが 回転のrotというわけなのだ。

　視覚的にrotと回転がつながったので

　まさに目からウロコ

　の瞬間だった。


rotはベクトルの微分

　今までの電磁気学の数式にも出てきた。

rotが出てきた電磁気の式
rotは「▽とベクトル」の外積だ。 回転の意味と言われるが、数式を眺めているだけでは 何も見えてこない。

　でも、琉球大学の前野さんの資料で、視覚的にrotが回転だとわかった。


　だが、その前に色々とrotの意味を考えたりしていた。

ガウスの法則の微分形でrotの意味を考える
ベクトル場の微小領域を1回転する経路積分を求める。 その際、出てきた結果を、微小領域の面積でわっているため 経路積分の値を、単位面積あたりの値におきかえている。

　同じような事をアンペールの法則の微分形で考えてみる事にした。

アンペールの法則の微分形でrotの意味を考えてみる
アンペールの法則は電流と、電流が作る磁場との関係式だ。 微小領域を貫く電流と、それが作る磁場との関係を見てみる。 1周の経路積分を行なった後、単位面積で割っている。 単位面積で割るため、貫く電流は、電流密度になる。

　その点における単位体積あたりの値

　を求めるのがrotのようだ。

　次にファラデーの法則の微分形で見てみる。

ファラデーの法則の微分形でrotの意味を考える
ファラデーの法則の微分形は、磁束密度の時間変化と 発生する電場との関係式だ。 やはりここでも、単位面積辺りの磁束密度の時間変化と 発生する電場との関係式になっている。

　うーん、単位面積辺りの値である事は見えてきた。
わかったような、わからんような感じだ。

　要するに・・・

　全くわかってへん!

　という事になる。


　ベクトル解析の本を取り出す。
　色々、ネットや本を見ていく。

　外微分という数学の分野の事が書いているサイトを発見。
　微分形式 - [物理のかぎしっぽ]

　持っていたベクトル解析の本にも、外微分の事が書いている。
　でも、学生時代、そのベクトル解析の本は、読んでいないので・・・

　外微分って何やねん!

　なのだ。
　だが、ここは「外微分」がどういう分野なのか、わからんまま、
本やサイトを追っかけてみる事にした。

外微分:スカラーポテンシャルを微分すると全微分
スカラーポテンシャルを全微分すると勾配が求められる。 1回目の微分は勾配(grad)を求めるというのだ。

　そしてスカラーポテンシャルを2回、外微分すると、驚く事が起こる。

スカラーポテンシャルを2回微分すると
スカラーポテンシャルを2回微分すると、なんと回転のrotが出てくる。 ところで「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = -dy Λ dx」は外積に似ている。 どういう式なのかは、外積代数や、微分形式を知る必要がある。 なので、ここでは「そうなの」の程度で見て欲しい。 実際、私自身、この時は、外積代数や微分形式の知識など全くなかったため これを見た時は、チンプンカンプンだったが そのままrotはベクトルの微分として受け入れて、前に進める事にしたのだ。 詳しくは後述しています。

　上の式の展開を見た時

　rotってベクトルの微分なんか!!

　と思ったと同時に衝撃だった。


　何せ学生時代、電磁気でrotは出てきたが、ベクトルの微分である事は
習った記憶がない。

　仮に習ったとしても20年も前の話だ。記憶はない。


　rot Aの導き方を見直してみる事にした。

rot Aを求めてみる
rotは回転だ。 計算しやすいように、ベクトルの流れが一方向だけで考えてみる。 計算してみると、ベクトル成分の微分が出ているのがわかる。

　やはりrotはベクトルの微分だったのか!!

　と思った。

　というより、微分になっているのに気づいていない私は
余程、物理や数学の才能がないという事かもしれない。


　XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる事にした。

XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる
ベクトルのX方向の成分と、Y方向の成分を分けて計算した。 その後、単位面積辺りの変化量の値を求めた。

　それぞれを足しあわせてみる

XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる
ベクトルのX成分、Y成分のそれぞれの単位面積辺りの変化量を足し合わせる。

　ここで疑問が生まれた

変化の向きが垂直方向になっている
rotは、ベクトルAの変化量を求めるのだが、向きが垂直方向になっている。

　ベクトルの微分なのに、変化量のrotAの向きが・・・

　なんで垂直方向やねん!!

　図に描いたり、ネットで調べたりしても、わからない。
　この時、疑問が解けないまま、あきらめて、先に進む事にした。

　外微分の話を読む事にした。

「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = -dy Λ dx」
ネットを調べてみると上のような説明を発見した。 「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = dz」になる理由だ。 だが、この時点では、さっぱりわからなかった。

　「dx Λ dy = -dy Λ dx」になる理由もあった。

「dx Λ dy = -dy Λ dx」になる理由
わかったような、わからんような感じだった。 要するに、わからなかったという事だ。

　わからないのも当然で、外積代数や多様体、微分形式の知識がないと
理解できない話だからだ。
　なので、悪あがきせず、この時点で理解するのは断念したのだ。

　外積代数や多様体、微分形式などについては後述しています


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